\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{10}{Алгебра 10: нормальные подгруппы и представления}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Нормальные подгруппы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
Пусть $G$ -- группа, а $x$, $y$ -- ее элементы.
Обозначим через $x^y$ элемент вида $y x y^{-1}$.
Подгруппа $G_1 \subset G$ называется
{\bf нормальной}, если для любых $x\in G_1$,
$y\in G$ имеем $x^y \in G_1$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} {\bf Центром} группы $G$ (обозначается $Z(G)$)
называется множество всех элементов $x\in G$, коммутирующих 
со всеми элементами $G$. Докажите, что $Z(G) \subset G$ - нормальная
подгруппа.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $G_1 \subset G$ -- подгруппа.
{\bf Левыми смежными классами} по подгруппе $G_1$
называются подмножества вида $G_1 \cdot x\subset G$,
где $x$ пробегает все $G$.
{\bf Правыми смежными классами} называются подмножества 
вида $x\cdot G_1\subset G$. Докажите,
что правые (левые) смежные классы либо пересекаются,
либо совпадают.  Докажите, что правые смежные
классы являются левыми (и наоборот) тогда и только
тогда, когда $G_1$ -- нормальная подгруппа.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть $G_1 \subset G$ -- нормальная подгруппа,
а $S_1$, $S_2$ -- смежные классы по ней. Выберем
$x\in S_1$, $y\in S_2$. Докажите, что
смежный класс произведения $xy$ не зависит
от выбора $x, y$ в $S_1, S_2$. Докажите,
что таким образом определенное произведение
задает структуру группы на множестве $G_2$ 
смежных классов по $G_1$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
В такой ситуации говорят, что 
$G_2$ -- {\bf факторгруппа $G$ по $G_1$} (это записывается
$G_2 = G/G_1$), а $G$ -- {\bf расширение $G_2$ с помощью $G_1$}.
Расширение групп записывается так: $1 \arrow G_1 \arrow G
\arrow G_2\arrow 1$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Пусть $G\stackrel \phi \arrow G'$ -- гомоморфизм групп.
Докажите, что ядро $\phi$ (т.е. подмножество элементов, которые
переходят в $1_{G'}$) -- нормальная подгруппа в $G$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть $G\stackrel \phi \arrow G'$ --
сюрьективный гомоморфизм групп. Докажите, что
$G' \cong G/\ker \phi$, где $\ker \phi$ -- ядро $\phi$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Рассмотрим множество $\Aut(G)$ автоморфизмов группы
$G$, с операцией композиции. Докажите, что
это группа. Докажите, что сопоставление
$\phi_y(x) \mapsto x^y$ задает гомоморфизм $G \arrow \Aut(G)$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пусть $G, G'$ -- группы, причем 
задан гомоморфизм \[ G\arrow \Aut(G').\]
В такой ситуации говорят, что $G$
{\bf действует на $G'$ автоморфизмами}.
Автоморфизмы вида $x \stackrel {\phi_y}\arrow x^y$
называются {\bf внутренними}. 
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Найдите группу $\Aut(G)$ для $G = \Z/p\Z$
($p$ простое).
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Найдите группу $\Aut(G)$ для $G = \Z/n\Z$
($n$ любое).
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть задан гомоморфизм $G_2\stackrel \phi \arrow
\Aut(G_1)$. Определим на множестве пар $(g_1, g_2)$ следующую
операцию: 
$(g_1, g_2)\cdot (h_1, h_2) = (g_1 \phi(g_2, h_1), g_2 h_2)$.
Докажите, что получится группа. 
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Эта группа называется {\bf скрученным произведением
$G_1$ и $G_2$} и обозначается $G_1 \rtimes G_2$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}  
В условиях предыдущей задачи
докажите, что $(G_1, 1)$ задает нормальную 
 подгруппу в $G$, а фактор по этой подгруппе 
изоморфен $G_2$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Опишите группу $S_3$ как скрученное произведение
двух нетривиальных абелевых групп. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Опишите диэдральную группу 
как скрученное произведение двух нетривиальных абелевых групп.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Групппй Клейна называется группа кватернионов
вида $\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K$,
с естественной операцией умножения.
Можно ли получить группу Клейна как 
скрученное произведение двух абелевых 
групп?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $1 \arrow G_1 \arrow G
\stackrel \phi \arrow G_2\arrow 1$ -- расширение групп.
Предположим, что задан такой гомоморфизм 
$G\stackrel \psi \arrow G_1$, такой,
что $\psi \circ \phi$ -- тождественный
автоморфизм $G_2$ (в такой ситуации говорится,
что $\phi$ {\bf допускает сечение}).
Докажите, что $G$ можно получить как
скрученное произведение $G_1 \rtimes G_2$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть дана группа $G$.
Рассмотрим подгруппу $[G, G]\subset G$, порожденную
элементами вида $xy x^{-1}y^{-1}$. Докажите, что
это нормальная подгруппа, а фактор по ней 
коммутативен.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
$[G, G]$ называется {\bf коммутантом} группы $G$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*]
Найдите коммутант симметрической группы.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]\label{A5=[A5,A5]}.
Рассмотрим группу четных подстановок $A_n$, $n \geq 5$.
Докажите, что она совпадает со своим коммутантом.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Посчитайте $xy x^{-1}y^{-1}$, где
$x$, $y$ -- циклические подстановки порядка 3.
\end{ukazanie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Разрешимые группы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
Группа $G$ называется {\bf разрешимой}, если
существует последовательность 
$1= G_n \subset G_{n-1} \subset \dots \subset G_0 = G$
нормальных подгрупп, причем все $G_i/G_{i-1}$ абелевы.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Докажите, что подгруппа разрешимой группы разрешима.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Докажите, что симметрическая группа $S_3$
разрешима.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Докажите, что симметрическая группа $S_4$ разрешима.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Докажите, что группа Клейна 
$\{\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K\}$
разрешима.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $G_0$ -- группа, $G_1$ -- ее коммутант,  
$G_2= [G_1,G_1]$ -- коммутант коммутанта,
и так далее, $G_i= [G_{i-1},G_{i-1}]$. Докажите, что $G_0$ разрешима
тогда и только тогда, когда на каком-то 
шаге мы получим $G_n =1$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что группа четных подстановок $A_n$, $n \geq 5$
неразрешима.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Докажите, что группа движений $\R^3$
неразрешима.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Постройте изоморфизм между $A_5$ и группой движений
икосаэдра, и воспользуйтесь задачей~\ref{A5=[A5,A5]}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} 
Пусть $G$ -- группа порядка $p^n$.
Докажите, что центр $G$ содержит больше одного элемента.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Рассмотрим действие $G$ на себе автоморфизмами
Порядок $G$ равен сумме мощностей классов
вида $x^G$, где $x^G$ есть совокупность всех элементов
вида $x^y$, $y\in G$. Докажите сначала, что если $x$ не лежит в центре,
то порядок $x^G$ делится на $p$.
Мы получаем $|G| = 1 + \sum |y_i^G|$,
причем если у $G$ нет центра, все $|y_i^G|$
делятся на $p$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $G$ -- группа порядка $p^n$. Докажите,
что $G$ разрешима.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] 
Пусть $G$ -- группа порядка $p^2$, $p$ простое. Докажите,
что $G$ абелева.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Приведите пример неабелевой группы порядка $p^3$, $p$ -- любое простое число.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Рассмотрим множество $S$ верхнетреугольных 
матриц $n\times n$ с единицей на диагонали над полем $k$.
Докажите, что такие матрицы образуют подгруппу в $GL(n,k)$.
Докажите, что эта группа разрешима.
Найдите ее порядок для $k= \Z/p\Z$.
\end{zadacha}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Представления и инварианты}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
{\bf Представлениеm группы $G$ в векторном пространстве}
$V$ называется гомоморфизм $G \arrow GL(V)$ из $G$ в группу
$GL(V)$ обратимых эндормофизмов $V$. Если
задано представление $G$ в $V$, то говорят,
что $G$ {\bf действует на $V$}.
{\bf Подпредставление} $V$ -- это
подпространство, которое сохраняется 
действием $G$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
Пусть $G$ действует на векторных пространствах $V$, $V'$.
Определим действие $G$ на $V\otimes V'$ по формуле
$g(v\otimes v') = g(v)\otimes g(v')$.
Докажите, что это определение корректно
и задает представление $G$ на $V\otimes V'$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пусть $G$ -- группа, действующая
на векторном пространстве $V$. Вектор $v\in V$
называется {\bf инвариантным относительно 
действия $G$}, или {\bf инвариантом $G$},
если  $g(v)=v$ для любого $g\in V$. Пространство
всех $G$-инвариантных векторов обозначается $V^G$. 
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
Рассмотрим действие симметрической группы $S_n$
на $V=R^n$, заданное перестановками координат.
Найдите пространство инвариантов.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
В условиях предыдущей задачи, найдите пространство
инвариантов действия $S_n$ на $V\otimes V$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Рассмотрим действие циклической группы
$\Z/n\Z$ на $V=R^n$, заданное циклическими 
перестановками координат. Найдите 
пространство инвариантов.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
В условиях предыдущей задачи, найдите пространство
инвариантов $(V\otimes V)^{\Z/n\Z}$ действия $\Z/n\Z$ на $V\otimes V$.
\end{zadacha}

\end{document}