\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со
звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя
звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же
листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{11}{Алгебра 11: Теория Галуа}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Расширения Галуа}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zadacha}[!]\label{_pryamaya_summa_polinom_Zadacha_}
Пусть задан полином $P(t)\in K[t]$ степени $n$ с коэффициентами
в поле $K$, 
у которого $n$ попарно различных корней в $K$. Докажите, что
кольцо $K[t]/P$ остатков по модулю $P$ 
изоморфно прямой сумме $n$ копий $K$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Похожая задача была в листке 9.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie}
Пусть $K$ -- алгебраическое расширение поля $k$
(это часто обозначается как $[K:k]$). Говорят, что $[K:k]$
{\bf расширение Галуа}, если $K\otimes_k K$ изоморфно
(как алгебра) прямой сумме нескольких копий $K$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени
$n$, имеющий $n$ попарно различных корней в $K = k[t]/P$.
Докажите, что $[K:k]$ -- расширение Галуа.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Докажите, что $[\Q[\1]:\Q]$ -- расширение Галуа.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $[k:\Q]$ -- расширение степени 2 (т.е. $K$ двумерно
как векторное пространство над $\Q$). 
Докажите, что это расширение Галуа.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $p$ простое.
Докажите, что для любого корня из единицы $\zeta$ степени $p$,
$[\Q[\zeta]:\Q]$ -- расширение Галуа. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Будет ли $[\Q[\sqrt[3]{2}]:\Q]$ расширением Галуа?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $F$ -- поле характеристики $p$, а $k= F(z)$ -- поле рациональных 
функций над $F$. Докажите, что полином $P(t) = t^p -z$
неприводим над $k$. Докажите, что $[k[t]/P:k]$ -- не расширение
Галуа.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $K_1 \supset K_2 \supset K_3$ -- последовательность
расширений полей. Докажите, что 
\[ K_2 \otimes_{K_3} K_1 \cong (K_2 \otimes_{K_3} K_2)\otimes_{K_2} K_1.\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $K_1 \supset K_2 \supset K_3$ -- последовательность
расширений полей. Докажите, что 
\[  K_1 \otimes_{K_2}(K_2 \otimes_{K_2}\otimes_{K_3} K_2)\otimes_{K_2} K_1 
    \cong K_1 \otimes_{K_3} K_1.
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] 
Пусть $K_1 \supset K_2 \supset K_3$ - последовательность
расширений полей, причем $[K_1: K_2]$ и $[K_2: K_3]$ -
расширения Галуа. Докажите, что $[K_1: K_3]$ -- расширение
Галуа.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Докажите, что $\Q[\sqrt[3]2, \frac{\sqrt{-3}-1}2]$ --
расширение Галуа.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть $K_1 \supset K_2 \supset K_3$ -- последовательность
расширений полей. Докажите, что естественное отображение
\[
K_1 \otimes_{K_3}K_1 \arrow K_1 \otimes_{K_2}K_1
\]
-- сюрьективный гомоморфизм алгебр.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $K_1 \supset K_2 \supset K_3$ -- последовательность
расширений полей, причем $[K_1:K_3]$ -- расширение
Галуа. Докажите, что $[K_1:K_2]$ -- тоже расширение Галуа.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь задачей 9.28 листка Алгебра 9.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}
Пусть $P\in k[t]$ -- полином степени $n$ над полем $k$. Положим
$K_1= k$, и рассмотрим последовательность расширений,
$K_l\supset K_{l-1} \supset \dots \supset K_1$,
полученных индуктивно следующим образом. Пусть $K_j$ построено.
Разложим $P$ на неприводимые сомножители $P= \prod P_i$
в $K_j$. Если все $P_i$ линейны, мы закончили.
В противном случае, пусть $P_0$ -- неприводимый
сомножитель $P$ степени $>1$. Возьмем 
$K_{j+1}=K_j[t]/P_0$. Докажите, что
этот процесс закончится через конечное
число шагов и даст некоторое поле $K \supset k$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Это поле называется {\bf полем разложения}
многочлена $P$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $K$ -- поле разложения для многочлена $P(t)\in k[t]$.
Докажите, что $K$ изоморфно подполю в алгебраическом
замыкании $\bar k$, порожденному всеми корнями $P$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $P(t)$ -- многочлен степени $n$.
Докажите, что степень его поля разложения
не больше $n!$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $P\in k[t]$ -- многочлен степени $n$,
имеющий $n$ попарно различных корней в алгебраическом
замыкании $k$, и пусть $[K:k]$ -- его поле разложения, а
$K_l\supset K_{l-1} \supset \dots \supset K_1$
соответствующая цепочка расширений. Докажите, 
что  $K\otimes_{K_{i-1}}K_i$ изоморфно 
прямой сумме нескольких копий $К$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Это сразу следует из Задачи 
\ref{_pryamaya_summa_polinom_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени
$n$, имеющий $n$ попарно различных корней в алгебраическом
замыкании $k$ (такой полином называется {\bf не имеющим
кратных корней}), а $K$ -- его поле разложения. 
Докажите, что $[K:k]$ -- расширение Галуа.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый многочлен над полем
$k$ характеристики 0. Докажите, что у $P$ нет кратных
корней.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Докажите, что у $P(t)= t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \dots$ нет кратных корней
тогда и только тогда, когда $P$ не имеет
общих множителей с многочленом 
\[ P'(t) = n t^{n-1} + (n-1) a_{n-1} t^{n-2} + \dots + 2 a_2
t + a_1.
\]
Для этого докажите, что $(PQ)'=PQ'+Q'P$, и вычислите $P'(t)$ для 
$P=(t-b_1)\dots(t-b_n)$.
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie} Из предыдущей задачи следует, что 
над полем характеристики 0, поле разложения любого
многочлена является расширением Галуа.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[*]
Приведите пример поля $k$
(ненулевой характеристики) и такого неприводимого 
многочлена $P\in k[t]$, что его
поле разложения не является расширением Галуа.
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Группа Галуа}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. {\bf Группой Галуа $[K:k]$}
называется  группа $k$-линейных автоморфизмов поля $K$. Мы обозначаем
группу Галуа через $\Gal([K:k])$ или через $\Aut_k(K)$.
\end{opredelenie}

В дальнейшем мы будем рассматривать 
$K\otimes_k K$ как $K$-алгебру, с действием $K^*$,
заданным формулой $a(v_1\otimes v_2)= av_1 \otimes v_2$.
Такое действие $K^*$ называется {\bf левым}.
Оно отличается от ``правого действия'',
заданного формулой $a(v_1\otimes v_2)= v_1 \otimes av_2$.

\begin{zadacha} 
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа.
Постройте биекцию между множеством $K$-линейных
гомоморфизмов $K\otimes_k K\arrow K$ и множеством
неразложимых идемпотентов в $K\otimes_k K$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $\mu:\; K\otimes_k K\arrow K$ -- ненулевой
$K$-линейный гомоморфизм, а $k\otimes_k K\subset
K\otimes_k K$ -- $k$-подалгебра, естественно изоморфная $K$.
Докажите, что $\mu\mid_{k\otimes_k K}$
задает $k$-линейный автоморфизм $K\arrow K$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Докажите, что всякий $k$-линейный автоморфизм $K$ получается
таким образом.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Пусть $\nu\in \Gal([K:k])$.
Определим гомоморфизм $K\otimes_k K$ по формуле
$v_1 \otimes v_2 \arrow v_1 \nu(v_2)$. 
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] 
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа.
Постройте естественную биекцию между $\Gal([K:k])$
и множеством неразложимых идемпотентов в $K\otimes_k K$.
Докажите, что порядок группы Галуа равен размерности
$K$ как векторного пространства над $k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} \label{_right_left_ide_Zadacha_}
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа,
$\nu\in \Gal([K:k])$ -- элемент группы Галуа, а $e_\nu$ -- соответствующий
идемпотент в $K\otimes_k K$. Обозначим через $\mu_l$
стандартное (левое) действие $K^*$ на $K\otimes_k K$,
а за $\mu_r$ правое действие. Докажите, что
$\mu_l(a) e_\nu = \mu_r(\nu(a)) e_\nu$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а
$a\in K$ -- элемент, инвариантный относительно
$\Gal([K:k])$. Докажите, что $a\otimes 1 = 1 \otimes a$
в $K\otimes_k K$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь задачей
\ref{_right_left_ide_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а
$a\in K$ -- элемент, инвариантный относительно
$\Gal([K:k])$. Докажите, что $a \in k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $K'$ -- промежуточное
поле,  $K\supset K' \supset k$. Докажите, что
$K' = K^{G'}$, где $G'\subset \Gal([K:k])$ -- группа
$K'$-линейных автоморфизмов $K$, а $K^{G'}$ обозначает
множество $G'$-инвариантов.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Докажите, что $[K:K']$ -- расширение Галуа,
и воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
Докажите {\bf основную теорему теории Галуа:}
пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда
$G' \arrow K^{G'}$ устанавливает биекцию
между множеством подгрупп $G' \subset \Gal([K:k])$
и множеством промежуточных подполей 
$K\supset K' \supset k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $K'$ -- промежуточное
поле,  $K\supset K' \supset k$. Постройте естественное
отождествление между множеством $k$-линейных гомоморфизмов
$K' \to K$ и множеством $\Gal([K:k])/\Gal([K:K'])$
смежных классов группы Галуа $\Gal([K:k])$ по погруппе
$\Gal([K:K']) \subset \Gal([K:k])$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Найдите группу Галуа $[\Q[\sqrt a]:\Q]$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] 
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а
$a\in K$ -- элемент, порождающий $K$ над $k$
(такой элемент называется {\bf примитивным}).
Докажите, что если $\nu_1, \nu_2, \dots, \nu_n$ -- попарно
различные элементы $\Gal([K:k])$, то $\nu_1(a), \nu_2(a), \dots \nu_n(a)$
линейно независимы над $k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]\label{_primitive_Zadacha_}
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, 
а $V\subset K$ -- объединение всех 
промежуточных полей $k\subset K'\subset K$,
которые строго меньше $k$. Пусть $К$ бесконечно.
Докажите, что $V\neq K$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
$V$ есть объединение конечного числа
$k$-подпространств в $K$, которые имеют
(над $k$) размерность меньше, чем размерность 
$K$ как линейного пространства над $k$. 
Докажите, что в такой ситуации $V\neq K$.
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie}
Из этого следует, что в любом расширении
Галуа $[K:k]$ бесконечного поля $k$ есть примитивный элемент.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Докажите, что для любого $a\in K$
произведение $P(t)=\prod_{\nu_i \in \Gal([K:k])}\in (t- \nu_i(a))$ --
многочлен с коэффициентами в $k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
В условиях предыдущей задачи предположим, что
$a$ примитивный. Докажите, что $P(t)$ неприводим.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Напомним, что корень $n$-й степени из единицы  называется
{\bf примитивным}, если он порождает группу корней
$n$-й степени из единицы. Пусть $\xi\in \C$ -- примитивный
корень степени $n$. Докажите, что 
группа $\Gal([\Q[\xi]:\Q])$ изоморфна группе
$\Aut(\Z/n\Z)$ автоморфизмов группы $\Z/n\Z$. 
Найдите ее порядок.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Зафиксируем целое число $n$.
Пусть $P(t)= \prod(t-\xi_i)$, где $\xi_i$ пробегает
все примитивные корни степени $n$ из единицы.
Докажите, что $P(t)$ имеет рациональные коэффициенты
и неприводим над $\Q$.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
Этот многочлен называется {\bf круговым многочленом}.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[*]
Разложите $x^n-1$ на неприводимые множители
над $\Q$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть $a_1, \dots, a_n\in \Z$ -- взаимно простые числа,
не являющиеся квадратами. 
Докажите, что 
$[\Q[\sqrt {a_1}, \sqrt {a_2}, \dots, \sqrt {a_n}]:\Q]$ --
расширение Галуа.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Найдите группу Галуа этого расширения.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что $\sqrt {a_1}, \sqrt {a_2}, \dots, \sqrt {a_n}$
линейно независимы над $\Q$.
\end{zadacha}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Конечные поля}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Из предыдущих листков нам известны следующие
вещи про конечные поля. Порядок конечного поля
равен $p^n$, где $p$ -- его характеристика.
На любом поле $k$ характеристики $p$
задан {\bf гомоморфизм Фробениуса},
$Fr:\; k \arrow k$, $x \arrow x^p$.
В любое поле характеристики $p$
естественно вложено конечное поле
$\F_p$ из $p$ элементов.

Мы обозначаем  поле порядка $p^n$ через
$\F_{p^n}$.

\begin{zadacha} 
Пусть $x \in \F_{p^n}$, $x\neq 0$. Докажите, что
$x^{p^n-1}=1$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Воспользуйтесь теоремой Лагранжа (порядок элемента делит число
элементов в группе).
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie} 
Из этого следует, что многочлен $P(t) = t^{p^n-1}-1$
имеет ровно $p^n-1$ корней в $\F_{p^n}$.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что 
$\prod_{\xi\in \F_{p^n}\backslash 0} = t^{p^n-1}-1$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что 
$[\F_{p^n}: \F_{p}]$ -- расширение Галуа.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что $Fr, Fr^2, \dots, Fr^{n-1}$ --
попарно различные автоморфизмы $\F_{p^n}$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что $\Gal([\F_{p^n}: \F_{p}])$ -- циклическая
группа порядка $n$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Докажите, что поле разложения многочлена $t^{p^n-1}-1$
над $\F_p$ имеет порядок $p^n$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Докажите, что поле порядка $p^n$ единственно с точностью до
изоморфизма.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Перечислите все подполя в  $\F_{p^n}$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа.
Докажите, что в $K$ есть примитивный элемент.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
Для бесконечных полей мы это уже доказали, см. замечание
к задаче \ref{_primitive_Zadacha_}.
\end{zamechanie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Теорема Абеля}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Теорема Абеля утверждает, что общий многочлен
пятой степени неразрешим в радикалах; иначе говоря,
что решение общего уравнения пятой степени 
нельзя выразить через посредство алгебраических
операций (умножения, сложения, деления)
и операции извлечения корня $n$-й степени.
В этом разделе мы приведем пример 
уравнения, неразрешимого в радикалах.

\begin{zadacha}
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа.
Докажите, что подгруппа $G'\subset \Gal([K:k])$
нормальна тогда и только тогда, когда
$[K^{G'}:k]$ -- расширение Галуа.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $G'\subset \Gal([K:k])$ -- нормальная
подгруппа. Докажите, что группа $\Gal([K^{G'}:k])$
изоморфна фактору $\Gal([K:k])/G'$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} 
Расширение Галуа $[K:k]$
называется {\bf циклическим},
если его группа Галуа циклическая.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть группа Галуа $[K:k]$
разрешима. Докажите, что
$[K:k]$ можно представить в виде
последовательности расширений Галуа
$k=K_0 \subset K_1 \subset ... \subset K_n =K$,
таким образом, что для каждого $i$, $\Gal([K_i: K_{i-1}])$ - 
циклическая группа.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть поле $k$ содержит все корни из единицы порядка $n$,
а $[K:k]$ -- поле разложения многочлена $t^n -a$,
не имеющего корней над $k$. 
Докажите, что это расширение циклическое.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Пусть $\alpha$ -- какой-то корень многочлена $t^n -a$.
Тогда все корни $t^n -a$ имеют вид 
$\alpha, \alpha\xi, \alpha\xi^2, \dots, \alpha\xi^{p-1}$,
где $\xi$ -- корень из единицы.
Докажите, что автоморфизм, переводящий
$\alpha$ в $\alpha\xi^i$, переводит
$\alpha\xi^q$ в $\alpha\xi^{q+i}$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Зафиксируем $n\in \N$ и $n \in \Q$.
Пусть для любого $k>1$, делящего $n$, $a\in \Q$ не равен $k$-й 
степени никакого рационального числа, а $[K:\Q]$ --
поле разложения многочлена $t^n -a$.
Докажите, что $К$ содержит все корни
$n$-й степени из единицы, а $\Gal([K:\Q])$ изоморфно
скрученному произведению $\Z/n\Z \rtimes \Aut(\Z/n\Z)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $k$ -- поле характеристики 0, а 
$[K:k]$ -- поле разложения многочлена $t^n -a$.
Докажите, что группа Галуа $\Gal([K:k])$ разрешима.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Если $k$ содержит корни $n$-й степени из 1, мы все доказали.
Если нет, докажите, что $K$ их содержит. Рассмотрите
промежуточное расширение $K'$, полученное добавлением
этих корней к $k$, и докажите, что $[K:K']$ и
$[K':k]$ -- расширения Галуа с абелевыми группами Галуа.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} 
Пусть $[K:k]$ -- циклическое расширение порядка $n$,
$\nu$ -- образующий группы $\Gal[K:k]$, $\xi\in k$ --
примитивный корень из единицы степени $n$, 
а $\alpha\in K$ -- примитивный элемент.
Напишем {\bf резольвенту Лагранжа}
\[
L = a + \xi^{-1} \nu(a) + \xi^{-2} \nu^2(a) + \dots + \xi^{-n+1} \nu^{n-1}(a)
\]
Докажите, что $\nu(L)= \xi L$. Докажите, что $L\neq 0$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Докажите, что $\prod_{i=0}^{n-1}(t-\nu^i(L))= t^n-L^n$.
Докажите, что $L$ порождает $K$ над $k$, и что $L^n\in k$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Чтобы убедиться в том, что $L$ порождает $K$ над $k$,
воспользуйтесь тем, что $\Gal[k[\sqrt[n]{L^n}],k]=\Z/n\Z$,
а следовательно, размерность $k[L]$ над $k$
такая же, как размерность $K$ над $k$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа порядка $n$,
причем $k$ содержит все корни $n$-й степени из единицы.
Докажите, что $[K:k]$ циклическое тогда и только
тогда, когда его можно получить добавлением
корня $n$-й степени из $a\in k$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
(теорема Галуа)
Выведите из этого такую теорему.
Расширение Галуа $[K:k]$ порождается последовательным
добавлением решений уравнения $t^n -a$ тогда
и только тогда, когда группа $\Gal [K:k]$ разрешима.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
Пусть $P(t)\in k[t]$ -- многочлен.
{\bf Группой Галуа} $P$ называется группа Галуа
его поле разложения. Теорема Галуа утверждает, что
уравнение $P(t)=0$ разрешимо в радикалах тогда и только тогда,
когда группа Галуа $P(t)$ разрешима.
\end{zamechanie}

\begin{opredelenie}
Пусть группа $G$ действует на множестве $\Sigma$.
Действие называется {\bf транзитивным}, если
любой $x\in \Sigma$ можно перевести в любой
$y\in \Sigma$ применением подходящего $g\in G$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
Пусть $G\subset S_n$ -- подгруппа, содержащая транспозицию
и действующая транзитивно на $\{1, 2, 3, \dots, n\}$.
Докажите, что $G= S_n$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть $P\in k[t]$ -- неприводимый многочлен,
$\xi_1, \dots, \xi_n$ -- его корни, и пусть все эти корни различны. 
Докажите, что группа Галуа $P$ действует
на $\{\xi_1, \dots, \xi_n\}$ транзитивно.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Разобьем $\{\xi_1, \dots, \xi_n\}$ 
на смежные классы по действию $\Gal(P)$.
Пусть $S$ такой класс.
Докажите, что полином $\prod_{\xi_i\in S}(t-\xi_i)$
имеет коэффициенты в $k$, и делит $P$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $P\in \Q[t]$ -- неприводимый многочлен 
степени $n$, у которого ровно $n-2$ вещественных корня.
Докажите, что его группа Галуа равна $S_n$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Докажите, что $\Gal(P)$ транзитивно действует на корнях $P$,
а комплексное сопряжение сохраняет поле разложения
$P$ и действует на множестве корней как транспозиция.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
(теорема Эйзенштейна)
Пусть $Q= t^n + t^{n-1} a_{n-1} + t^{n-2} a_{n-2} + \dots + a_0$ --
такой многочлен с целыми коэффициентами, что 
все $a_i$ делят заданное простое число $p$,
а $a_0\not\vdots p^2$. Докажите, что $Q$ неприводим
над $\Q$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Докажите, что $Q(t) = x^5 - 10 x +5$ -- неприводимый
(над $\Q$) многочлен, у которого ровно 3 вещественных корня.
Выведите из этого, что его группа Галуа это $S_5$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Докажите, что уравнение $x^5 - 10 x +5=0$ 
неразрешимо в радикалах.
\end{zadacha}

\end{document}