\documentclass[12pt]{article} \usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr} \input{listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{12}{Алгебра 12: полупростые и нильпотентные операторы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subs{Артиновы алгебры над алгебраически замкнутым полем} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$. Напомним, что в листке 9 мы построили каноническое разложение $R\cong \oplus_i e_i R_i$, где $e_i$ -- неразложимые ортогональные идемпотенты, а $e_i R$ -- артиново кольцо, в котором нет неединичных идемпотентов, причем это разложение единственно. \begin{zadacha}[!] Предположим, что $R$ не имеет неединичных идемпотентов, а $k$ алгебраически замкнуто. Докажите, что если $R$ полупросто, то $R=k$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Предположим, что $R$ не имеет неединичных идемпотентов, а $k$ алгебраически замкнуто. Докажите, что $R= k \oplus {\goth n}$, где ${\goth n}$ -- нильрадикал. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Докажите, что $R/{\goth n}$ полупросто, и примените предыдущую задачу. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!]\label{_razlozhe_kolca_Zadacha_} Пусть $R$ -- артиново кольцо над алгебраически замкнутым полем $k$. Докажите, что $R= R_{ss} \oplus {\goth n}$, где $R_{ss}$ -- полупростое артиново подкольцо в $R$. Докажите, что $R_{ss}\subset R$ определяется однозначно. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Верно ли это, если $k$ не алгебраически замкнуто? \end{zadacha} В дальнейшем, нам понадобится следующее утверждение. \begin{zadacha}[!]\label{_Syurie_polupro_Zadacha_} Пусть $R$ полупростое артиново кольцо над полем $k$, а $R\arrow R'$ -- сюрьективный гомоморфизм $k$-алгебр. Докажите, что $R'$ -- тоже полупростое артиново кольцо. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Похожая задача была листке Алгебра 9. \end{ukazanie} \begin{opredelenie} Пусть $R$ -- алгебра над полем $k$. {\bf Представлением} алгебры $R$ называется гомоморфизм алгебр из $R$ в $\End(V)$, где $V$ -- линейное пространство над $k$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $R$ -- алгебра над полем $k$. Рассмотрим отображение $R\arrow \End(R)$, заданное формулой $r \mapsto (v\arrow rv)$. Докажите, что это представление. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $R$ -- алгебра над $k$, изоморфная конечному расширению $k$, а $V$ -- конечномерное представление $R$. Докажите, что $V\cong R^n$, то есть $V$ изоморфно (как представление $R$) сумме нескольких копий $R$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $V$ -- конечномерное представление алгебры кватернионов ${\mathbb H}$ над $\R$. Докажите, что $V$ изоморфно ${\mathbb H}^n$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $G$ -- группа, $k$ -- поле. {\bf Групповой алгеброй} $G$ над $k$ (обозначается $k[G]$) линейное линейное пространство, свободно порожденное линейными комбинациями вида $\sum \lambda_i g_i$ ($\lambda_i \in k$, $g_i\in G$), с умножением, которое задается по формуле \[ (\sum \lambda_i g_i)(\sum \lambda'_j g'_j) = \sum_{i,j}\lambda_i\lambda'_jg_ig'_j. \] Докажите, что это действительно алгебра. Докажите, что любое представление группы $G$ однозначно продолжается до представления групповой алгебры. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $G_1, G_2$ -- группы, а $k[G_1\times G_2]$ -- групповая алгебра их произведения. Докажите, что $k[G_1\times G_2]\cong k[G_1]\otimes k[G_2]$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $G = (\Z/2\Z)^n$ -- произведение $n$ копий $\Z/2\Z$. Докажите, что $k[G]\cong k^{\oplus_{2^n}}$ (прямая сумма $2^n$ копий $k$). \end{zadacha} \begin{ukazanie} Докажите, что $k[\Z/2\Z]\cong k\oplus k$, а затем воспользуйтесь соотношением $k[G_1\times G_2]\cong k[G_1]\otimes k[G_2]$. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[*] Рассмотрим группу Клейна (подгруппу порядка 8 в кватернионах, состоящую из $\{\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K\}$). Докажите, что ее групповая алгебра над $\R$ изоморфна ${\mathbb H}\oplus \R \oplus \R \oplus \R \oplus \R$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $G$ -- конечная абелева группа, а $k$ -- алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики. Докажите, что $k[G]$ -- полупростое артиново кольцо над $k$. Выведите из этого, что $k[G]$ -- прямая сумма $|G|$ копий $k$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь критерием, приведенным в листке 9: артиново кольцо $R$ над полем нулевой характеристики полупросто тогда и только тогда, когда след задает на $R$ невырожденную форму. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[*] Пусть $G$ -- конечная абелева группа, $k$ -- алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики, а $\rho:\; G \arrow \End(V)$ -- представление $G$ над $k$. Докажите, что $V$ разлагается в прямую сумму одномерных $G$-инвариантных подпространств. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей и задачей \ref{_Syurie_polupro_Zadacha_}. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[*] Пусть $G$ -- конечная абелева группа, а $\R[G]$ -- ее групповое кольцо над $\R$. Докажите, что $\R[G]$ изоморфно прямой сумме нескольких копий $\R$ и $\C$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $G$ -- конечная абелева группа, а $\rho:\; G \arrow \End(V)$ -- представление $G$ над $\R$. Докажите, что $V$ разлагается в прямую сумму одномерных и двумерных $G$-инвариантных подпространств. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $G$ -- конечная абелева группа, а $\rho:\; G \arrow \End(V)$ -- ее трехмерное представление над $\R$. Докажите, что в $V$ найдется $G$-инвариантная прямая. \end{zadacha} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subs{Полупростые операторы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор на конечномерном векторном пространстве. Легко видеть, что подалгебра $\langle 1, A, A^2, A^3, \dots \langle\subset \End(V)$, порожденная $A$, коммутативна. \begin{opredelenie} Оператор $A\in \End(V)$ называется {\bf полупростым}, если порожденная им подалгебра в $\End(V)$ полупроста. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Докажите, что линейный оператор над алгебраически замкнутым полем полупрост тогда и только тогда, когда он диагонализуем. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $k\subset \bar k$ -- два поля, причем $\bar k$ алгебраически замкнуто, и пусть $V$ -- конечномерное векторное пространство над $k$. Рассмотрим $V\otimes_k \bar k$ как векторное пространство над $\bar k$. Докажите, что $\End(V)\otimes_k \bar k$ естественно изоморфно $\End_{\bar k}(V\otimes_k \bar k)$. Это задает естественное вложение $\End(V)\arrow \End_{\bar k}(V\otimes_k \bar k)$. Докажите, что линейный оператор $A\in \End(V)$ полупрост тогда и только тогда, когда доответствующий линейный оператор в $V\otimes_k \bar k$ диагонализуем. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $V$ -- двумерное векторное пространство над $\R$, наделенное положительно определенной билинейной симметричной формой, а $A\in \End(V)$ -- ортогональный оператор. Докажите, что он полупрост. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $V$ -- векторное пространство над $\R$ произвольной конечной размерности, наделенное положительно определенной билинейной симметричной формой, а $A\in \End(V)$ -- ортогональный оператор. Докажите, что он полупрост. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $V$ -- векторное пространство над $\R$, наделенное невырожденной билинейной симметричной формой, не обязательно положительно определенной, а $A\in \End(V)$ -- ортогональный оператор. Всегда ли он полупрост? \end{zadacha} \begin{opredelenie} Элемент артинового кольца над $k$ называется {\bf полупростым}, если он порождает полупростую подалгебру в $R$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $R$ -- артиново кольцо над $k$, а $r\in R$ -- полупростой элемент. Докажите, что при любом представлении $R \arrow \End(V)$, $r$ переходит в полупростой эндоморфизм $V$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь задачей \ref{_Syurie_polupro_Zadacha_}. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!] Пусть $V$ -- конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем, а $A\in \End(V)$ -- линейный оператор. Докажите, что $A$ разлагается в сумму полупростого и нильпотентного оператора, $A= A_{ss}+A_n$, которые коммутируют. Докажите, что это разложение единственно, и $A_{ss}$, $A_n$ полиномиально выражаются через $A$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь \ref{_razlozhe_kolca_Zadacha_}. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[*] Верно ли это, если основное поле $k$ не алгебраически замкнуто? \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $A$ -- верхнетреугольная матрица, $A_\delta$ -- ее диагональная часть. Докажите, что $A$ и $A_\delta$ коммутируют. \end{zadacha} \begin{zadacha}[**] Пусть $(V,g)$ -- векторное пространство, снабженное билинейной кососимметричной формой, пусть $A$ -- антисимметрический оператор, а $A=A_{ss}+A_n$ -- его разложение в полупростую и нильпотентную часть. Докажите, что $A_{ss}$, $A_n$ антисимметричны. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Может ли антисимметричный оператор над $\C$ быть нильпотентным? \end{zadacha} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subs{Теорема Гамильтона-Кэли} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Пусть $k$ -- любое поле, $k(t)$ -- поле рациональных функций над $k$, $V$ -- $n$-мерное векторное пространство над $k$, а $B(t)\in \End(V)[t]$ -- полином с коэффициентами в $\End(V)$. Напомним, что в такой ситуации $\det(B(t))$ -- полином от $t$ (см. листок 8). Рассмотрим $B(t)$ как $k(t)$-линейный эндоморфизм $V\otimes k(t)$ Рассмотрим эндоморфизм $\Lambda^{n-1}(V\otimes k(t))$ индуцированный $B(t)$, и пусть $\check B(t)$ -- сопряженный к нему относительно естественного спаривания \[ \Lambda^{n-1}(V\otimes k(t))\otimes V\otimes k(t) \arrow \det V\otimes k(t) \] эндоморфизм $V \otimes k(t)$. В листке 7 доказывается, что $B(t)\check B(t)= \check B(t)B(t)=\det(B(t))\Id_V$. \begin{zadacha} В этой ситуации, докажите, что $\check B(t)$ это $\End(V)$-значный полином: $\check B(t)\in \End(V)[t]$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Выразите $\check B(t)$ через миноры $B(t)$. \end{ukazanie} \begin{zadacha} Пусть $A\in \End(V)$. Применив это рассуждение к $B=t-A$, докажите, что $(t-A)\check{(t-A)}= \chpoly_A(t)$. Докажите, что коэффициенты многочлена $\check{(t-A)}\in \End(V)[t]$ коммутируют с $A$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $R\subset \End(V)$ -- некоторое подмножество. Обозначим через $Z(R)$ множество всех операторов $A'\in \End(V)$, коммутирующих со всеми операторами $r\in R$ (это множество называется {\bf централизатором} $R$). Докажите, что $Z(R)$ -- подалгебра в $\End(V)$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $R\in \End(V)$ -- некоторая подалгебра, $A_1\in Z(A)$ -- элемент централизатора $R$, $R[t]$ -- алгебра $R$-значных полиномов, а $R[t]\stackrel \phi \arrow R'$ -- гомоморфизм алгебр. Обозначим через $R[A_1]$ подалгебру $\End(V)$, порожденную $R$ и $A_1$. Докажите, что существует такой гомоморфизм $\phi_0:\; R[A_1]\arrow R'$, что $\phi_0\restrict R = \phi\restrict R$ и $\phi_0(A_1) = \phi(t)$. Докажите, что эти условия однозначно определяют $\phi_0$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор, Применив предыдущую задачу, постройте гомоморфизм $Z(A)[t]\stackrel \Psi\arrow Z(A)$, переводящий $t$ в $A$, и тождественный на $Z(A)$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] (Теорема Гамильтона-Кэли) Рассмотрим соотношение $(t-A)\check{(t-A)}= \chpoly_A(t)$ в $Z(A)[t]$. Применим к правой и левой частям уравнения гомоморфизм $\Psi$, построенный выше. Докажите, что получится следующее соотношение в алгебре $\End(V)$: \[ \chpoly_A(A)=0. \] \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $A,B\in \End V$ -- линейные операторы. Рассмотрите функцию от двух переменных $Q(t_1, t_2) = \det(t_1A + t_2 B)$, где $t_1A + t_2 B$ рассматривается как линейный оператор на $V\otimes_k k(t_1,t_2)$, а $k(t_1,t_2)=k(t_1)(t_2)$ -- поле рациональных функций над $k(t_1)$. Докажите, что $Q(t_1, t_2)$ -- полином с коэффициентами в $k$. Докажите, что в кольце $\End V$ имеет место соотношение $Q(-B,A)=0$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор, действующий на конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем $k$. Пусть $\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ -- корни характеристического полинома оператора $A$. Рассмотрим пространство $V_{\lambda_i}$ всех $v\in V$ таких, что $(A-\lambda_i)^{m_i}(v)=0$, где $m_i$ -- кратность корня $\lambda_i$ полинома $\chpoly_A(t)$. Докажите, что $V= \oplus V_{\lambda_i}$, где $\lambda_i$ пробегает все корни характеристического полинома $A$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь теоремой Гамильтона-Кэли \end{ukazanie} \begin{zamechanie} Пространство $V_{\lambda_i}$ называется {\bf корневым пространством} для оператора $A$. \end{zamechanie} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subs{Минимальный многочлен и характеристический многочлен} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{opredelenie} Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор, действующий на конечномерном пространстве над $k$. Рассмотрим последовательность эндоморфизмов $1, A, A^2,\dots \in \End(V)$. Поскольку пространство $\langle 1, A, A^2, \dots \rangle$ конечномерно, начиная с какого-то $i$ все $A^i$ выражаются через сумму такого вида: $A^N = \sum_{i=0}^{l-1} \lambda_i A^i$, где $\lambda_i\in k$, $l=\dim \langle 1, A, A^2,\dots \rangle$. Запишем такое соотношение для $A^l$: $A^l+ \sum_{i=0}^{l-1} \lambda_i A^i=0$. Напомним, что полином $P(t)=t^l + \lambda_{l-1} t^{l-1} + \dots +\lambda_0$ называется {\bf минимальным полиномом} $A$ и обозначается $\minpoly_A(t)$. \end{opredelenie} \begin{zadacha}[!] Докажите, что в алгебре $\End(V)$ выполняется такое соотношение: $$ \minpoly_A(A)=0. $$ Докажите, что любой полином $Q(t)=t^{m} + \mu_{m-1} t^{l-1} + \dots +\mu_0$, для которого $Q(A)=0$, делится на $\minpoly_A(t)$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Докажите, что характеристический полином оператора делится на его минимальный полином. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор. \begin{enumerate} \item Докажите, что $A$ нильпотентен тогда и только тогда, когда $\minpoly_A(t) = t^n$. \item Докажите, что $A$ является неединичным идемпотентом тогда и только тогда, когда $\minpoly_A(t)= t^2-t$. \end{enumerate} \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор, действующий на конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем $k$, а $V=\oplus V_{\lambda_i}$ -- разложение $V$ в сумму корневых подпространств. Пусть $P(t)$ -- минимальный полином $A$, а $P_i(t)$ -- минимальные полиномы для ограничений $A$ на $V_{\lambda_i}$. Докажите, что $P(t)=P_1(t)P_2(t)\dots$. Докажите, что $P_i(t)= (t-\lambda_i)^k$, где $k\leq \dim V_{\lambda_i}$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} То, что $P_i(t)= (t-\lambda_i)^k$, ясно, поскольку оператор $A-\lambda_i$ на $V_{\lambda_i}$ нильпотентен. То, что $P(t)=P_1(t)P_2(t)\dots$ легко следует из того, что все $P_j(A)$ $j\neq i$) обратимы на $V_{\lambda_i}$. \end{ukazanie} \begin{zamechanie} Таким же свойством мультипликативности обладает, очевино, и характеристический полином. \end{zamechanie} \begin{zadacha} \label{_minpoly_chpoly_nilpo_Zadacha_} Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор в $n$-мерном векторном пространстве. Докажите, что $\minpoly_A(t)= (t-\lambda)^n$ тогда и только тогда, когда в некотором базисе $A$ записывается в виде матрицы \begin{equation}\label{_Zhordanova_Cletka_Equation_} \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 &\hdotsfor{3} &0\\ 0 & \lambda & 1 & 0 &\hdotsfor{2} &0\\ 0 & 0 & \lambda & 1 & 0 &\dots &0\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots\\ 0 & 0 &\hdotsfor{2} &\lambda & 1 &0\\ 0 & 0 &\hdotsfor{3} &\lambda & 1\\ 0 & 0 &\hdotsfor{4} &\lambda \end{pmatrix} \end{equation} \end{zadacha} \begin{ukazanie} Заменив $A$ на $A-\lambda \Id_V$, можно считать, что $\minpoly_A(t)=t^n$. Возьмите такой вектор $v\in V$, что $(A-\lambda)^{n-1}(v)\neq 0$. Докажите, что $v, A(v), A^2(v), \dots, A^{n-1}(v)$ образуют базис в $V$, и в этом базисе $A$ записывается в виде \eqref{_Zhordanova_Cletka_Equation_}. \end{ukazanie} \begin{zamechanie} Такая матрица называется {\bf жордановой клеткой}. Мы будем обозначать ее через $J(n,\lambda)$. \end{zamechanie} \begin{opredelenie} Пусть $e_1,\dots,e_n$ -- базис в векторном пространстве, а $A_i^j$ -- матрица линейного оператора $A$, записанная в этом базисе. Предположим, что $e_1,\dots,e_n$ разбиты в группы (блоки) $[e_1,\dots, e_{k_1}] [e_{k_1+1},\dots, e_{k_2}] \dots$, причем $A$ переводит каждый $e_i$ в линейную комбинацию векторов, лежащих в том же блоке. В таком случае $A$ составлен из квадратных кусков размера $k_i-k_{i-1}$, а вне этих квадратов располагаются нули: $$ \begin{pmatrix} * & \dots & * &0 &\dots &0 &0 &\dots &0\\ \vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ * & \dots & * &0 &\dots &0 &0 &\dots &0\\ 0 & \dots & 0 &* &\dots &* &0 &\dots &0\\ \vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ 0 & \dots & 0 &* &\dots &* &0 &\dots &0\\ 0 &\dots &0 &0 &\dots &0 &* & \dots & * \\ \vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ 0 &\dots &0 &0 &\dots &0 &* & \dots & * \end{pmatrix} $$ Такая матрица называется блочно-диагональной. \end{opredelenie} \begin{zadacha} \label{_cikli_zhorda_Zadacha_} Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор, действующий на конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем $k$. Предположим, что минимальный полином $\minpoly_A(t)$ равен характеристическому полиному $\chpoly_A(t)$. Докажите, что в некотором базисе $A$ записывается в виде блочно-диагональной матрицы, составленной из жордановых клеток $J(n_i, \lambda_i)$, причем все $\lambda_i$ разные. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользовавшись мультипликативностью $\minpoly$ и $\chpoly$ при разложении $V$ в сумму корневых подпространств, сведите задачу к случаю $V=V_{\lambda_i}$. Теперь примените \ref{_minpoly_chpoly_nilpo_Zadacha_}. \end{ukazanie} \begin{opredelenie} Пусть оператор $A$ записывается в некотором базисе в виде блочно-диагональной матрицы, составленной из жордановых клеток. Эта запись называется {\bf жордановой нормальной формой} оператора. \end{opredelenie} Сейчас мы докажем сначала единственность жордановой нормальной формы, а потом -- ее существование. Мы работаем в предположении, что основное поле алгебраически замкнуто. \begin{zadacha} Пусть $A\in\End(V)$ -- нильпотентный оператор, с жордановой нормальной формой, составленной из клеток $J(0, n_1),\dots,J(0,n_k)$. Докажите, что число клеток в жордановой нормальной форме $A$ равно размерности пространства $V/AV$. Докажите, что $A^jV/A^{j+1}V$ -- число клеток $J(0,n_i)$ с $n_j\geq j$. Выведите из этого, что жорданова нормальная форма нильпотентного оператора определена однозначно, с точностью до перестановки клеток. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Докажите, что жорданова нормальная форма любого оператора единственна, с точностью до перестановки клеток. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Раскладывая $V$ в сумму корневых подпространств, сведите задачу к случаю $V=V_{\lambda_i}$. Заменяя $A$ на $A-\lambda_i$, можно ограничиться нильпотентными операторами. Теперь все следует из предыдущей задачи. \end{ukazanie} \begin{opredelenie} Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор. Мы говорим, что $A$ {\bf циклически действует} на $V$, если в $v$ найдется такой элемент, что $v, Av, A^2v, A^3 v, \dots$ порождает $V$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор, который циклически действует на $V$. Докажите, что $\minpoly_A(t)=\chpoly_A(t)$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Если $A$ действует циклически, то степень $\minpoly_A(t)$ равна $\dim V$ равна степени $\chpoly_A(t)$. \end{ukazanie} \begin{zadacha} Пусть $A\in \End(V)$ -- такой линейный оператор, что $V$ разлагается в сумму $A$-инвариантных подпространств, на которых $A$ действует циклически. Докажите, что $A$ приводится в некотором базисе к жордановой нормальной форме. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь задачей \ref{_cikli_zhorda_Zadacha_}. \end{ukazanie} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subs{Модули над кольцом и жорданова нормальная форма} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{opredelenie} Пусть $R$ -- кольцо. {\bf Модулем} над $R$ называется абелева группа $М$, наделенная операцией $R\times M\arrow M$, которая согласована со сложением в следующем смысле \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})} \item Для любых $\lambda\in R$, $u, v\in M$, имеем $\lambda(u+v) = \lambda u+ \lambda v$. Для любых $\lambda_1, \lambda_2\in R$, $u\in M$, имеем $(\lambda_1+\lambda_2) u = \lambda_1 u +\lambda_2 u$ (дистрибутивность умножения относительно сложения). \item Для любых $\lambda_1, \lambda_2\in R$, $u\in M$, имеем $\lambda_1(\lambda_2 u) = (\lambda_1 \lambda_2) u$ (ассоциативность умножения). \item Для любого $v\in M$, имеем $1v=v$, где 1 обозначает единицу в $R$. \end{enumerate} \end{opredelenie} \begin{zamechanie} Это определение почти дословно повторяет определение векторного пространства над полем. Многие понятия, которые определялись для векторных пространств (например, гомоморфизм, мономорфизм, эпиморфизм, ядро, образ, факторпространство) определяются без каких-либо изменений и для модулей над кольцом. \end{zamechanie} \begin{zadacha} Пусть $R$ -- алгебра над полем $k$. Для любого модуля $M$ над $R$ рассмотрим $M$ как линейное пространство над $k\subset R$. Рассмотрим операцию умножения на элементы из $r$ как эндоморфизмы $M$. Докажите, что это задает гомоморфизм $R\arrow \End_k(M)$. Докажите, что все представления получаются таким образом. \end{zadacha} \begin{zadacha} Докажите, что любая абелева группа имеет единственную структуру модуля над $\Z$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Рассмотрим группы $R^n$ как модуль над $R$, с действием, заданным формулой $r\cdot(x_1,\dots, x_n) = (rx_1,\dots, rx_n)$. Этот модуль называется {\bf свободным}. Фактор $R^n$ по подмодулю называется {\bf конечно порожденным}. Если $M$ можно представить как фактор свободного модуля по конечно порожденному подмодулю, то $M$ называется {\bf конечно представимым}. \end{opredelenie} \begin{opredelenie} Пусть $\phi:M \to M'$ -- гомоморфизм модулей над алгеброй $R$. {\bf Коядром} $\phi$ (обозначается $\coker \phi$) называется фактор $M'$ по образу $\phi$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $M$ -- модуль над $R$. Докажите, что $M$ конечно порожден тогда и только тогда, когда в нем есть набор таких элементов $m_1,\dots,m_N$ элементов, что любой элемент $M$ представим в виде их линейной комбинации, $m = r_1m_1 + \dots + r_Nm_N$, $r_1,\dots,r_N \in R$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $M$ -- модуль над $R$. Докажите, что $M$ конечно представим тогда и только тогда, когда он изоморфен коядру какого-то гомоморфизма $\phi:R^N \to R^M$ свободных $R$-модулей. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!]\label{_kone_poro_Zadacha_} Пусть $k$ поле, а $M$ -- модуль над $k[t]$, который имеет конечную размерность над $k$. Докажите, что $M$ конечно порожден и конечно представим над $k[t]$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Рассмотрите $M$ как векторное пространство над $k$, выберите базис $m_1,\dots,m_M \in M$, и возьмите эти элементы в качестве образующих. Затем докажите, что ядро отображения $\phi: M \otimes_k k[t] \to M$ порождено элементами элементами вида $m_i \otimes t - tm_i \otimes 1$. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!] Пусть $M$ -- конечная абелева группа. Докажите, что $M$ конечно порождена и конечно представима как модуль над $\Z$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Возьмите в качестве множества образующих $m_1,\dots,m_N \in M$ все элементы $M$. \end{ukazanie} \begin{zadacha} Пусть $R$ -- некоторое кольцо, а $V$ -- модуль над $R$, представленный как коядро гомоморфизма $(R)^n\stackrel\phi\arrow (R)^m$. Запишем $\phi$ матрицей $A^i_j$ с коэффициентами в $R$. Пусть $B^i_j$ -- матрица, полученная из $R$ гауссовыми преобразованиями по строкам и по столбцам (см. листок Алгебра 7). Докажите, что $V$ изоморфно коядру гомоморфизма, соответствующего $B^i_j$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $R$ -- кольцо, а $a\in R$ -- некоторый элемент. Рассмотрим $aR$ как модуль над $R$. {\bf Циклическим модулем} над $R$ называется фактормодуль $R/aR$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $M$ -- некоторый $Z$-модуль. Докажите, что $M$ циклический тогда и только тогда, когда соответствующая абелева группа циклическая. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $M$ -- $k[t]$-модуль. Докажите, что $M$ циклический тогда и только тогда, когда для некоторого $v\in M$, $v, tv, t^2v, t^3v , \dots$ порождают $M$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $R$ -- такое кольцо, что любую матрицу размера $n \times m$ с коэффициентами в $R$ можно привести к диагональному виду гауссовыми преобразованиями по строкам и по столбцам. Докажите, что всякий конечно порожденный и конечно представимый модуль над $R$ изоморфен прямой сумме циклических. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Если $(R)^n\stackrel\phi\arrow (R)^n$ задан диагональной матрицей, с $a_i^i$ на диагонали, то коядро этого гомоморфизма имеет вид $\oplus_i R/a_i^i R$ \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!] Пусть $R$ -- евклидово кольцо (см. листок Алгебра 2). Докажите, что любую матрицу размера $n \times m$ с коэффициентами из $R$ можно привести к диагональному виду гауссовыми преобразованиями по строкам и по столбцам. Выведите из этого, что любой конечно порожденный и конечно представимый модуль над $R$ -- прямая сумма циклических. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Эта задача была в листке Алгебра 7. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!] Пусть $G$ -- конечная абелева группа. Докажите, что $G$ -- прямая сумма циклических групп. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $V$ -- модуль над $k[t]$, конечномерный над $k$. Докажите, что $V$ -- прямая сумма циклических модулей. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Кольцо $k[t]$ евклидово, а $V$ конечно порожден и конечно представим, как следует из задачи \ref{_kone_poro_Zadacha_}. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!] Пусть $A\in \End(V)$ -- линейный оператор. Докажите, что $V$ разлагается в прямую сумму $A$-инвариантных подпространств, на каждом из которых $A$ действует циклически. Выведите из этого, что если поле $k$ алгебраически замкнуто, то $A$ приводится к жордановой нормальной форме. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Рассмотрим действие $k[t]$ на $V$, заданное формулой $P(t)(v) = P(A)v$. Докажите, что $V$ будет $k[t]$-модулем. Разложите $V$ в прямую сумму циклических подмодулей: $V=\oplus V_i$. Докажите, что все $V_i$ $A$-инвариантны, и $A$ действует на них циклически. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[*] Найдите коммутативное кольцо и модуль над ним, который не разлагается в прямую сумму циклических. \end{zadacha} \end{document}