\documentclass[12pt]{article} \usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr} \input{listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{8}{Алгебра 8: Линейная алгебра: характеристический полином} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subs{Характеристический полином} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{opredelenie} Пусть $A\in \End V$ -- линейный оператор на векторном пространстве $V$. Пусть задан такой вектор $v\in V$, что $A(v)= \lambda v$. Тогда $v$ называется {\bf собственным вектором}, а $\lambda$ -- {\bf собственным значением} оператора $A$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $V$ -- двумерное векторное пространство над $\R$, снабженное невырожденной билинейной симметрической формой $g$, а $A\in \End V$ -- ортогональный автоморфизм, который не равен $\pm Id$. Докажите, что если $g$ положительно или отрицательно определена (такие нормы называются {\bf знакоопределенными}), то $A$ не имеет собственных векторов. Докажите, что если $g$ не знакоопределена, то у $A$ есть два линейно независимых собственных вектора. Какие собственные значения могут быть у $A$ в таком случае? \end{zadacha} \begin{zadacha} Рассмотрим множество дробей вида $\frac{P(t)}{Q(t)}$, где $P$, $Q$ -- многочлены над $k$, и $Q\neq 0$. Рассмотрим отношение эквивалентности, порожденное $\frac{P(t)}{Q(t)}\sim\frac{P'(t)}{Q'(t)}$, если \[ P(t) = Z(t) P'(t), \qquad\qquad Q(t) = Z(t) Q'(t) \] Определим сложение и умножение на классах эквивалентности обычным способом: \[ \frac{P(t)}{Q(t)}+\frac{P'(t)}{Q'(t)}= \frac{P(t)Q'(t) + P'(t) Q(t)}{Q(t)Q'(t)}, \qquad\qquad \frac{P(t)}{Q(t)}\frac{P'(t)}{Q'(t)} = \frac{P(t) P'(t))}{Q(t)Q'(t)} \] Докажите, что получится поле. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Это поле называется {\bf полем рациональных функций от одного переменного}, или просто {\bf полем рациональных функций}, и обозначается $k(t)$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Докажите, что это поле не алгебраично над $k$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть дано $n$-мерное векторное пространство $V$ над $k$, а $K\supset k$ -- другое поле. Рассмотрим тензорное произведение $K\otimes_k V$, снабженное естественным действием мультипликативной группы $K^*$. Докажите, что это будет линейное пространство. Докажите, что это линейное пространство конечномерно над $K$, если $V$ конечномерно над $k$. Найдите размерность $K\otimes_k V$ над $K$, если известна размерность $V$ над $k$. \end{zadacha} Пусть даны векторное пространство $V$ над $k$ и линейный оператор $A\in \End V$ в нем. Тензорно домножая $V$ над $k(t)$ над $k$, мы получим векторное пространство $V\otimes_k k(t)$. Действие $A$ естественно продолжается до линейного оператора на $V\otimes k(t)$. Злоупотребляя обозначениями, мы будем обозначать соответствующий линейный оператор $A\in \End_{k(t)} (V\otimes_k k(t))$ через $A$. \begin{zadacha}[!] Пусть $A\in \End V$ -- линейный оператор на $n$-мерном векторном пространстве $V$ над $k$, а $\det(t\cdot Id -A)\in k(t)$ -- определитель оператора $t\cdot Id -A$, действующего на $V\otimes_k k(t)$. Докажите, что это полином над $k$ степени $n$, со старшим коэффициентом 1. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Этот полином называется {\bf характеристическим полиномом оператора $A$} и обозначается $\chpoly_A(t)$. \end{opredelenie} \begin{zadacha}[!] Пусть $\lambda$ -- корень характеристического полинома $A$. Докажите, что он является собственным значением $A$. Докажите, что все собственные значения $A$ являются корнями $\chpoly_A(t)$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Оператор $\lambda Id - A$ имеет ядро тогда и только тогда, когда $\lambda$ - корень $\chpoly_A(t)$. \end{ukazanie} \begin{zadacha} Пусть $v_1,\dots,v_n$ -- собственные векторы с попарно различными собственными значениями. Докажите, что они линейно независимы. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $A\in \End V$ -- линейный оператор на $n$-мерном векторном пространстве. Предположим, что у характеристического полинома $n$ корней, причем все разные. Докажите, что $A$ {\bf диагонализуем}, иначе говоря, представляется диагональной матрицей в некотором базисе. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $V$ -- конечномерное векторное пространство над $\C$. Рассмотрим множество всех линейных операторов над $V$ как векторное пространство с естественной топологией на нем. Докажите, что диагонализуемые операторы плотны в $\End V$. Докажите, что недиагонализуемые операторы нигде не плотны. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!]\label{_ch_poly_inva_Zadacha_} Докажите, что $\chpoly_A(t) = \chpoly_{B A B^{-1}}(t)$ для любого обратимого линейного оператора $B$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $A\in \End V$ -- линейный оператор на $n$-мерном векторном пространстве, а $\chpoly_A(t) = t^n+ a_{n-1} t^{n-1} + a_{n-2} t^{n-2} + \dots$ -- его характеристический полином. Коэффициент $a_{n-1}$ называется {\bf следом} $A$ и обозначается $\tr A$. \end{opredelenie} \begin{zadacha}[!] Пусть $A$ задан матрицей $A^{i}_j$. Докажите, что $\tr A= \sum A^i_i$ (сумме всех чисел на диагонали матрицы). \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Докажите, что $\tr AB = \tr BA$, для любых линейных операторов $A$, $B$. \end{zadacha} \begin{zamechanie} Если $B$ обратим, это следует из \ref{_ch_poly_inva_Zadacha_}. \end{zamechanie} \begin{zadacha} Пусть $V$ - конечномерное линейное пространство. Рассмотрим гомоморфизм $V\otimes V^* \arrow \Hom(V,V)$, переводящий $v\otimes \lambda\in V\otimes V^*$ в $v'\arrow \lambda(v')\otimes v\in \Hom(V,V)$. Докажите, что это изоморфизм. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $A\in \End V$ -- линейный оператор на конечномерном векторном пространстве, а $A\otimes A^*$ -- индуцированный $A$ оператор на $V \otimes V^*$. Рассмотрим тензор $\Id\in V \otimes V^*$, соответствующий тождественному оператору при изоморфизме $\Hom(V,V)\cong V\otimes V^*$, и естественное спаривание $V \otimes V^*\stackrel \mu \arrow k$. Докажите, что $\tr A = \mu(A\otimes A^*(\Id))$. \end{zadacha} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subs{Верхнетреугольные матрицы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{zadacha} Пусть $V' \subset V$ -- $k$-мерное подпространство в векторном пространстве, а $A\in \End V$ -- оператор, сохраняющий $V'$ (то есть переводящий $V'$ в себя). Выберем базис $e_1, \dots, e_n$ в $V$ таким образом, что $e_1, \dots, e_k\in V'$. Докажите, что $A$ в этом базисе имеет вид \[ \begin{pmatrix} *&*&* &\hdotsfor{1} &*&*&*\\ \vdots&\vdots&\vdots& \ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\ *&*&* &\hdotsfor{1} &*&*&*\\ 0&0&0 &\hdotsfor{1} &*&*&*\\ \vdots&\vdots&\vdots& \ddots &\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0 &\hdotsfor{1} &*&*&* \end{pmatrix}. \] (нижний левый прямоугольник $k\times (n-k)$ заполнен нулями, остальные коэффициенты произвольные). \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть дано $n$-мерное векторное пространство $V$. Последовательность подпространств $0=V_0 \subset V_1 \subset V_2 \subset \dots \subset V_n = V$ называется {\bf флагом} (или {\bf полным флагом}), если $\dim V_i = i$. Базис $e_1, \dots, e_n$ называется {\bf согласованным с флагом}, если $e_i \in V_i$. Мы говорим, что линейный оператор $A\in \End V$ {\bf сохраняет флаг $\{ V_i\}$}, если $A(V_i) \subset V_i$. \end{opredelenie} \begin{zadacha}[!] Пусть $0=V_0 \subset V_1 \subset V_2 \subset \dots \subset V_n = V$ -- флаг в $V$, $e_1, \dots, e_n$ -- согласованный с ним базис, а $A\in \End V$ -- линейный оператор. Докажите, что $A$ сохраняет некоторый флаг $\{ V_i\}$ тогда и только тогда, когда $A$ представляется верхнетреугольной матрицей в базисе $e_1, \dots, e_n$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $V$ -- векторное пространство над алгебраически замкнутым полем. Докажите, что $A\in \End V$ сохраняет флаг $0=V_0 \subset V_1 \subset V_2 \subset \dots \subset V_n = V$ (а следовательно, представляется верхнетреугольной матрицей в каком-то базисе). \end{zadacha} \begin{ukazanie} Возьмите в качестве $V_1$ любой собственный вектор, а затем примените индукцию. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[*] Пусть задан обратимый линейный оператор $A\in \End V$ на $n$-мерном пространстве, у которого есть $n$ попарно различных собственных значений. Рассмотрим подалгебру $R_A$ в $\End V$, порожденную $A$. Докажите, что $\dim R_A=n$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь определителем Вандермонда. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[*] Пусть задано два коммутирующих линейных оператора. Докажите, что они представляются верхнетреугольными матрицами в одном и том же базисе $e_1, \dots, e_n$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть задано $l$ штук попарно коммутирующих линейных операторов. Докажите, что они представляются верхнетреугольными матрицами в одном и том же базисе $e_1, \dots, e_n$. \end{zadacha} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subs{Симметрические и кососимметрические матрицы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{opredelenie} Матрица называется {\bf симметричной}, если она равна своей транспонированной: $A = A^\bot$. Матрица называется {\bf кососимметричной}, или {\bf антисимметричной}, если $A = - A^\bot$. \end{opredelenie} \begin{opredelenie} Пусть $V$ -- векторное пространство, снабженное невырожденной билинейной симметрической формой $g$, а $A\in \End V$ -- линейный оператор. Оператор $A$ называется {\bf симметрическим}, если для любых $x, y\in V$ имеем $g(Ax, y) = g(x, Ay)$, и {\bf кососимметрическим}, если имеем $g(Ax, y) = -g(x, Ay)$. \end{opredelenie} \begin{opredelenie} Пусть $V$ -- векторное пространство, снабженное невырожденной билинейной симметрической формой $g$. Напомним, что базис $e_1, \dots, e_n\in V$ называется {\bf ортонормированным}, если разные $e_i$ попарно ортогональны, а $g(e_i,e_i)=1$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $V$ -- векторное пространство, снабженное билинейной симметрической невырожденной формой $g$, а $e_1, \dots, e_n$ -- ортонормированный базис. Рассмотрим линейный оператор $A\in \End V$. Докажите, что $A$ симметрический тогда и только тогда, когда его матрица симметричная, и кососимметрический тогда и только тогда, когда его матрица анти-симметричная. \end{zadacha} \begin{zadacha}\label{_izo_biline_Zadacha_} Пусть $V$ -- конечномерное векторное пространство, снабженное билинейной невырожденной формой $g$. Докажите, что любая билинейная форма получается как $g(Ax, y)$ для какого-то линейного оператора $A$, и такой оператор единственный. \end{zadacha} \begin{zamechanie} В условиях предыдущей задачи, положим, что $g$ симметрическая. Очевидно, форма $g(Ax, y)$ симметрическая тогда и только тогда, когда $A$ симметрический, и кососимметрическая, тогда и только тогда, когда $A$ кососимметрический. \end{zamechanie} \begin{zadacha} Пусть $V$ -- конечномерное векторное пространство. Пространство билинейных форм естественно изоморфно $V^*\otimes V^*$, а пространство $\End V$ естественно изоморфно $V\otimes V^*$. Форма $g$ устанавливает изоморфизм между $V$ и $V^*$. Это дает изоморфизм между $V^*\otimes V^*$ и $V\otimes V^*$, т.е. между билинейными формами и линейными операторами. Докажите, что этот изоморфизм совпадает с построенным в задаче \ref{_izo_biline_Zadacha_}. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!]\label{_sokhra_podpro_Zadacha_} Пусть $V$ - конечномерное векторное пространство, снабженное невырожденной билинейной симметрической формой $g$, а $A$ -- симметрический оператор. Предположим, что $A$ сохраняет подпространство $V'\subset V$. Докажите, что $A$ сохраняет ортогональное дополнение к $V'$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $V$ -- векторное пространство над $\R$, а $V\otimes \C$ его тензорное произведение с $\C$. Поскольку $\C \cong \R \oplus \1\R$, имеет место изоморфизм $V\otimes \C\cong V\oplus \1 V$. Это значит, что любого вектора $v\in V\otimes \C$ можно рассмотреть {\bf вещественную} и {\bf мнимую} часть $\Re v$, $\Im v$. \end{opredelenie} \begin{zadacha}\label{_okompleksi_Zadacha_} Пусть $V$ -- векторное пространство над $\R$, снабженное билинейной симметрической формой $g$. Рассмотрим комплексное векторное пространство $V\otimes \C$, и продолжим $g$ на $V\otimes \C$ по линейности до билинейной комплекснозначной формы. Для любого вектора $v\in V\otimes \C$ обозначим через $\bar v$ вектор $\Re(v) - \1 \Im(v)$ (такой вектор называется {\bf комплексно сопряженным к $v$}). Докажите, что $g(v, \bar v) = g(\Re(v), \Re(v))+g(\Im(v), \Im(v))$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!]\label{_veshche_korni_Zadacha_} Пусть $V$ -- конечномерное векторное пространство над $\R$ размерности $n$, снабженное положительно определенной билинейной симметрической формой $g$ (такое пространство называется {\bf евклидовым}), пусть $A$ -- симметрический оператор, а $P(t)$ -- его характеристический полином. Докажите, что у $P(t)$ ровно $n$ вещественных корней. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Рассмотрим действие $A$ на $V\otimes \C$, и пусть $v$ -- собственный вектор, соответствующий невещественному собственному значению. Докажите, что $g(v, \bar v)=0$. Воспользуйтесь задачей \ref{_okompleksi_Zadacha_}. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!] Пусть $V$ -- евклидово пространство, а $A\in V$ -- симметрическый оператор. Докажите, что у $V$ есть ортогональный базис из собственных векторов $A$. Другими словами, $A$ диагонализуем в некотором ортонормированном базисе. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь задачами \ref{_veshche_korni_Zadacha_} и \ref{_sokhra_podpro_Zadacha_}. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[*] Пусть $V$ -- конечномерное векторное пространство над $\R$, снабженное невырожденной, но не обязательно положительно определенной билинейной симметрической формой. Любой ли симметрический оператор диагонализуем? \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $V$ -- евклидово пространство, a $A\in V$ -- кососимметрическый оператор. Обозначим через $\omega$ кососимметричную форму $g(A\cdot, \cdot)$. Пусть $v$ -- собственный вектор оператора $A^2$ (с ненулевым собственным значением). Докажите, что $\omega$ невырождена на линейной оболочке $\langle v, A(v)\rangle$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] В условиях предыдущей задачи, докажите, что в некотором ортонормированном базисе $e_1, \dots, e_{2m}, e_{2m+1}, \dots, e_n$ $\omega$ записывается в виде \[ \sum_{i=0}^{m-1} \alpha_i e^{i+1}\wedge e^{i+2}.\] \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $A$ -- кососимметрический оператор, заданный в евклидовом пространстве, а $\det A$ -- его определитель. Рассмотрим $\det A$ как полином от матричных коэффициентов $A$ (в некотором базисе). Докажите, что в нечетномерном пространстве $V$, этот определитель равен тождественно нулю. Докажите, что $\det A$ -- полный квадрат другого полинома от матричных коэффициентов. Этот полином называется {\bf пфаффиан $A$}. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Пусть $2m= \dim V$. Запишем билинейную форму $\omega$ как выше. Докажите, что $\omega^{m}$ (взятая как элемент грассмановой алгебры $\Lambda^*(V^*)$) пропорциональна $e^1\wedge e^2\wedge \dots \wedge e^{2m}$ с полиномиальным коэффициентом $Q$, причем $Q^2 = \det A$. \end{ukazanie} \end{document}