\documentclass[12pt]{article} \usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr} \input{listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{9}{Алгебра 9: Артиновы кольца и идемпотенты} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{opredelenie} Пусть дана коммутативная $R$ алгебра с единицей над полем $k$. Говорят, что $R$ {\bf артиново кольцо над полем $k$}, если $R$ конечномерна как векторное пространство. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть дан линейный оператор $A\in \End V$. Рассмотрим подалгебру в $\End V$, порожденную $k$ и $A$. Докажите, что это артиново кольцо над $k$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Элемент $r\in R$ в алгебре (или кольце) $R$ называется {\bf нильпотентным}, если $r^k=0$, для какого-то $k\in \N$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $r, r'$ -- нильпотентные элементы в артиновом кольце над полем. Докажите, что любая линейная комбинация $r, r'$ нильпотентна. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $r, r'$ -- нильпотентные элементы в алгебре $\Mat(V)$. Всегда ли $r+r'$ нильпотентен? \end{zadacha} \begin{zamechanie} Нильпотентный элемент в алгебре матриц называется {\bf нильпотентным оператором}. \end{zamechanie} \begin{zadacha} Пусть дан нильпотентный оператор $A\in \End V$. Докажите, что в $V$ есть такая цепочка подпространств $V\supset V_1\supset V_2 \supset \dots \supset V_k =0$, что $A(V_i) = V_{i+1}$ \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть дан нильпотентный оператор $A\in \End V$. Докажите, что в некотором базисе $A$ выглядит так: $$ \begin{pmatrix} 0&*&* &\hdotsfor{1} &*&*&*\\ 0&0&* &\hdotsfor{1} &*&*&*\\ 0&0&0 &\hdotsfor{1} &*&*&*\\ \vdots&\vdots&\vdots& \ddots &\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0 &\hdotsfor{1} &0&*&*\\ 0&0&0 &\hdotsfor{1} &0&0&*\\ 0&0&0 &\hdotsfor{1} &0&0&0 \end{pmatrix} $$ (т.е. как верхнетреугольная матрица с нулями на диагонали). Докажите, что любая матрица такого вида нильпотентна. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!]\label{tr=0} Пусть $A \in \End V$ -- нильпотентный оператор. Докажите, что $\tr(A)=\det(A)=0$, а $\chpoly_A(t)=t^{\dim V}$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $R$ -- кольцо. Подмножество ${\mathfrak m} \subset R$ называется {\bf идеалом}, если следующие свойства выполняются. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})} \item ${\mathfrak m}$ замкнуто относительно сложения (т.е. сумма элементов из ${\mathfrak m}$ принадлежит ${\mathfrak m}$) \item Для любого $m\in{\mathfrak m}$, $a\in R$, произведение $am$ лежит в $R$. \end{enumerate} \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть дан гомоморфизм колец $R\arrow R'$. Докажите, что ядро этого гомоморфизма -- идеал. \end{zadacha} \begin{zadacha}\label{field.noideals} Пусть дан сюръективный гомоморфизм $f:R_1 \to R_2$ алгебр над полем $k$, причем $R_1$ -- поле. Докажите, что либо $R_2=0$, либо $f$ -- изоморфизм. \end{zadacha} \begin{zadacha} Дан идеал ${\mathfrak m} \subset R$. Рассмотрим фактор $R/{\mathfrak m}$, то есть множество смежных классов вида $r + {\mathfrak m}$. Постройте на $R/{\mathfrak m}$ естественную структуру кольца. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Кольцо $R/{\mathfrak m}$ называется {\bf факторкольцом} кольца $R$. Идеал называется {\bf простым}, если соотвествующее факторкольцо ненулевое и не имеет делителей нуля, и {\bf максимальным}, если оно, кроме того, поле. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Докажите, что любой простой идеал в артиновом кольце максимален. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Опишите все максимальные идеалы в кольце полиномов $k[t]$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Рассмотрим множество всех нильпотентных элементов в кольце $R$. Докажите, что это идеал. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Этот идеал называется {\bf нильрадикалом} кольца $R$. \end{opredelenie} \begin{zadacha}[!] Рассмотрим фактор кольца $R/{\mathfrak n}$ по его нильрадикалу. Докажите, что в $R/{\mathfrak n}$ нет ненулевых нильпотентов. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть дан идеал в артиновом кольце, не совпадающий со всем кольцом. Докажите, что он содержится в максимальном. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть дан идеал в кольце (не обязательно артиновом), не совпадающий со всем кольцом. Докажите, что он содержится в максимальном. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Используйте лемму Цорна. \end{ukazanie} \begin{opredelenie} Артиново кольцо $R$ называется {\bf полупростым}, если в нем нет ненулевых нильпотентов. \end{opredelenie} \begin{opredelenie} Пусть $R_1,\dots,R_n$ -- алгебры над полем. Возьмем прямую сумму $\oplus R_i$, с естественным (почленным) умножением и сложением. Получившаяся алгебра называется {\bf прямой суммой $R_i$}, обозначается $\oplus R_i$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Докажите, что прямая сумма полупростых артиновых колец полупроста. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $v$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$. Рассмотрим подпространство $R$, порожденное $1, v, v^2, v^3, \dots$ (для всех степеней $v$). Пусть оно $n$-мерно. Докажите, что $P(v)=0$ для некоторого полинома $P= t^{n+1} + a_n t^n + \dots$ с коэффициентами из $k$. Докажите, что такой полином единственен. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Этот полином называется {\bf минимальным полиномом} элемента $v$ и обозначается $\minpoly(v)$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $v\in R$ -- элемент артинового кольца над $k$, а $P(t)$ -- его минимальный полином. Рассмотрим подалгебру $R_v$, порожденную $v$ и $k$. Докажите, что $R_v$ изоморфно кольцу $k[t]/P$ остатков по модулю $P$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $v\in R$ -- такой элемент алгебры $R$, что $v^2=v$. Тогда $v$ называется {\bf идемпотентом}. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $e\in R$ -- идемпотент в кольце. Докажите, что $1-e$ тоже идемпотент. Докажите, что произведение идемпотентов -- идемпотент. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $e\in R$ -- идемпотент в кольце. Рассмотрим пространствo $eR\subset R$ (образ умножения на $e$). Докажите, что $eR$ -- подалгебра в $R$, $e$ -- единичный элемент в $eR$, и $R=eR \oplus (1-e)R$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $R = k(t)/P$, где $P$ -- полином, который разлагается в произведение попарно взаимно простых полиномов, $P = P_1 P_2 \dots P_n$. Докажите, что в $R$ есть $m$ идемпотентов $e_1, \dots, e_n \subset R$, причем $e_i R \cong k[t]/P_i$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Найдите многочлены $Q(t)$, $Q'(t)$, такие, что $Q P_1 + Q' P_1 P_3 \dots P_n=1$. Напишем $e = Q' P_1 P_3 \dots P_n$. Докажите, что $e^2 = e (\mod P)$, и $eP_1(t)=0 (\mod P)$. Выведите из этого, что $k[z]/P_1(z) \cong e R$, причем изоморфизм задается соответствием $z \mapsto et$. \end{ukazanie} \begin{zadacha} Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо без неединичных идемпотентов. Докажите, что это поле. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Пусть $R$ -- не поле. Рассмотрите подалгебру $k(x) \subset R$, порожденную необратимым элементом $x \in R$, и примените к ней утверждение предыдущей задачи. \end{ukazanie} \begin{opredelenie} Говорят, что два идемпотента $e_1,e_2 \in R$ в коммутативной алгебре $R$ {\bf ортогональны}, если $e_1e_2=0$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $e_1,e_2,e_3 \in R$ -- идемпотенты в артиновом кольце $R$ над полем $k$, причем $e_1=e_2+e_3$, а $e_2$ и $e_3$ ортогональны. Докажите, что $e_2,e_3 \in e_1R$ и $e_1R=e_2R \oplus e_3R$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $\cchar k \neq 2$. Предположим, что $e_1, e_2, e_3$ -- идемпотенты в артиновом кольце $R$ над $k$, и $e_1 = e_2 + e_3$. Докажите, что $e_2$ и $e_3$ ортогональны. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$, Идемпотент $e$ в $R$ называется {\bf неразложимым}, если нельзя найти такие ненулевые ортогональные идемпотенты $e_2, e_3$, что $e_1 = e_2 + e_3$. \end{opredelenie} \begin{zadacha}[!] Пусть $R$ полупростое артиново кольцо, а $e$ -- неразложимый идемпотент. Докажите, что $eR$ -- поле. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо над полем $k$, Докажите, что $1$ разлагается в сумму неразложимых ортогональных идемпотентов: $1 = \sum e_i$. Докажите, что это разложение единственно. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Для существования, возьмите какой-нибудь идемпотент $e \in R$, разложите $R=eR \oplus (1-e)R$, и воспользуйтесь индукцией. Для единственности, перемножьте два возможных разложения $1$. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!] Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо над полем $k$, Докажите, что $R$ изоморфно прямой сумме полей. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!] Пусть $R_1 \overset{\psi}{\arrow} R_2$ -- сюръективный гомоморфизм артиновых колец, причем $R_1$ полупросто и тем самым разложено в прямую сумму полей по какому-то множеству индексов $I$, $R_1= \oplus_{i\in I} K_i$. Докажите, что $R_2 = \oplus_{i\in I'} K_i$, где $I'$ -- некоторое подмножество $I$, а $\psi$ -- естественная проекция (т.е. $\psi$ действует тождественно на $K_i$, $i \in I'$, и равно нулю на $K_i$, $i \notin I'$). \end{zadacha} \begin{ukazanie} Разложите $1 \in R_1$ в сумму неразложимых идемпотентов $e_i$, $i \in I$, докажите, что $f:e_iR \to f(e_i)R_2$ сюръективен для всех $i \in I$, и примените задачу~\ref{field.noideals}. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[*] Пусть $R=k[t]/P$, а у полинома $P$ есть кратные корни над алгебраическим замыканием $\bar k$. Может ли $R$ быть полупросто? Разберите случаи $\cchar k =0$, $\cchar k \neq 0$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо над полем $k$, а $1 = e_1+ \dots + e_n$ -- разложение 1 в сумму неразложимых ортогональных идемпотентов. Докажите, что у $R$ есть ровно $n$ простых идеалов. Опишите эти идеалы в терминах $e_i$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть дано артиново кольцо $R$ над полем $k$ (любой характеристики). Докажите, что пересечение всех простых идеалов $R$ -- это нильрадикал $R$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $R$ -- алгебра над полем $k$, а $g$ -- билинейная форма на $R$. Форма $g$ называется {\bf инвариантной}, если $g(x, yz) = g(xy, z)$ для любых $x$, $y$, $z$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $R$ -- артиново кольцо, снабженное билинейной инвариантной формой, а ${\mathfrak m}$ -- идеал в $R$. Докажите, что ${\mathfrak m}^\bot$ -- тоже идеал. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Найдите артиново кольцо, не допускающее невырожденной инвариантной билинейной формы. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] \label{_Tr_semisimple_Zadacha_} Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$. Рассмотрим билинейную форму $a, b \arrow \tr(ab)$, где $\tr(ab)$ -- след эндоморфизма $L_{ab}\in \End R$, $x \stackrel {L_{ab}}\mapsto abx$. Докажите, что если форма невырождена, то $R$ полупросто. Докажите, что если $R$ полупросто, а $\cchar k =0$, то форма невырождена. \end{zadacha} \begin{ukazanie} В одну сторону, воспользуйтесь задачей~\ref{tr=0}. В другую сторону, рассмотрите сначала ситуацию когда $R$ -- поле. \end{ukazanie} \begin{zadacha} Пусть $V$, $V'$ -- векторные пространства над $k$, снабженные билинейными формами $g$, $g'$. Определим на $V\otimes V'$ билинейную форму $g \otimes g'$, исходя из \[ g \otimes g'(v\otimes v',w\otimes w')= g(v,w)g'(v', w') \] Докажите, что это определение корректно, и единственным образом задает билинейную форму на $V \otimes V'$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $R$, $R'$ -- коммутативные алгебры над $k$. Рассмотрим тензорное произведение $R \otimes R'$. Введем на $R \otimes R'$ мультипликативную структуру. исходя из $v\otimes v' \cdot w\otimes w = vw\otimes v'w'$. Докажите, что это корректно и единственным образом задает структуру кольца на $R \otimes R'$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Опишите алгебру $\C \otimes_\R \C$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Опишите алгебру $\Q[\1]\otimes_\Q \Q[\1]$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $P(t)$ и $Q(t)$ -- полиномы над полем k. Обозначим $K_1=k[t]/P(t)$ и $K_2=k[t]/Q(t)$. Докажите, что $K_1 \otimes K_2 \cong K_1[t]/Q(t) \cong K_2[t]/P(t)$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $R$, $R'$ -- артиновы кольца над $k$, $\cchar k =0$. Обозначим естественные билинейные формы $a, b \arrow \tr(ab)$ на них через $g$, $g'$. Рассмотрим тензорное произведение $R \otimes R'$ с естественной структурой артиновой алгебры. Рассмотрим форму $g\otimes g'$ на $R \otimes R'$. Докажите, что $g\otimes g'$ равна форме $a, b \arrow \tr(ab)$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Докажите, что тензорное произведение полупростых артиновых колец над полем $k$ характеристики $0$ полупросто. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь задачей \ref{_Tr_semisimple_Zadacha_}. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[*] Найдите такие два поля $K_1$, $K_2$, алгебраических над $\Q$ и не равных $\Q$, что $K_1\otimes_\Q K_2$ -- тоже поле. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $P(t)\in \Q[t]$ -- многочлен, у которого нет рациональных корней, но есть ровно $r$ вещественных и ровно $2s$ комплексных, но не вещественных. Докажите, что \[ (\Q[t]/P)\otimes_\Q \R = \bigoplus_s \C \oplus \bigoplus_r \R. \] \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $P(t)$ -- неприводимый многочлен над $\Q$, у которого нет вещественных корней, а $v\in \Q[t]/P$ -- любой элемент, не лежащий в $Q \subset \Q[t]/P$. Докажите, что у минимального полинома элемента $v$ нет вещественных корней. \end{zadacha} \end{document}