\documentclass[12pt]{article} \usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr} \def\Mor{\operatorname{Mor}} \input{listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{11}{Геометрия 11: Накрытия Галуа} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Наука о накрытиях Галуа, про которую рассказывается в этом листке, весьма похожа на теорию Галуа алгебраических расширений полей. Это не случайно. В алгебраической геометрии методы топологии и дифференциальной геометрии применяются к объектам алгебраической и теоретико-числовой природы. Та версия теории Галуа, которая излагается в листке Алгебра-11, восходит к А. Гротендику. Гротендик определил фундаментальную группу таким образом, что группа Галуа и фундаментальная группа топологического пространства оказались частными случаями более общей конструкции. При изучении накрытий и расширений полей, а также фундаментальной группы и группы Галуа, очень полезно держать в голове, что это похожие вещи. Все топологические пространства в этом листке предполагаются хаусдорфовыми. %\begin{opredelenie} %Пусть $M$ топологическое пространство, а %$\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ -- непрерывное отображение. %Говорят, что $\pi$ {\bf этально}, если %у каждой точки $\tilde M$ есть такая окрестность $U$, %что ограничение $\pi$ на $U$ %осуществляет гомеоморфизм $U$ на $\pi(U)$. %Иначе говоря, этальное отображение -- отображение, %которое локально является гомеоморфизмом. %\end{opredelenie} % %\begin{zadacha} %Докажите, что этальное отображение открыто. %\end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ -- накрытие, а $M_1$ -- связная компонента $\tilde M$. Докажите, что $\pi^{-1}(M_1)$ -- связная компонента в $\tilde M$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ -- накрытие, причем $\tilde M$ и $M$ связны и непусты, а $\pi$ инъективно. Докажите, что $\pi$ -- гомеоморфизм. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$, $\tilde M'\stackrel {\pi'} \arrow M$ -- накрытия. {\bf Морфизмом накрытий} называется непрерывное отображение $\phi:\; \tilde M\arrow \tilde M'$, согласованное с проекцией в $M$ -- иначе говоря, такое, что $\phi\circ \pi' = \pi$. Множество морфизмов между накрытиями обозначается $\Mor(\tilde M, \tilde M')$. Изоморфизмом накрытий называется морфизм, который обратим, причем таким образом, что $\phi^{-1}\circ \phi=\Id$, $\phi\circ \phi^{-1}=\Id$. \end{opredelenie} \begin{zadacha}[!] Пусть $\phi:\; \tilde M\arrow \tilde M'$ -- морфизм накрытий. Докажите, что $\phi:\; \tilde M\arrow \tilde M'$ -- накрытие. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $M$ связно, а $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ -- накрытие. Докажите, что $\tilde M$ локально связно. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $M_1\arrow M_2$ и $M_2\arrow M_3$ -- накрытия, \item[**] Верно ли, что композиция $M_1\arrow M_3$ -- тоже накрытие? \item[!] Пусть у каждой точки $М_3$ есть односвязная окрестность. Докажите, что $M_1\arrow M_3$ -- накрытие. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$, $\tilde M' \stackrel {\pi'} \arrow M$ -- накрытия, а $\tilde M'\coprod \tilde M$ -- их несвязная сумма. Докажите, что это тоже накрытие $M$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $M$ связно, а $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ -- накрытие. Докажите, что $\tilde M\cong \coprod_{\alpha\in I} \tilde M_\alpha$, где $\{\tilde M_\alpha\}$ -- множество компонент связности $\tilde M$, рассмотренных как накрытия $M$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} {\bf Расщеплением} накрытия $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ называется изоморфизм $\tilde M$ и накрытия вида $\tilde M \cong V \times M$, где $V$ -- множество с дискретной топологией. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ -- накрытие связного пространства $M$. Докажите, что $\pi$ расщепляется тогда и только тогда, когда все связные компоненты $\tilde M$ изоморфны $M$. \end{zadacha} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subs{Накрытия Галуа} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{zadacha}[!] Пусть $M_1 \stackrel {\pi_1} \arrow M$, $M_2 \stackrel {\pi_2} \arrow M$ -- накрытия. Рассмотрим следующее подмножество в $M_1\times M_2$ \[ M_1\times_M M_2:= \{ (m_1, m_2)\in M_1\times M_2 \ \ | \ \ \pi_1(m_1)= \pi_2(m_2)\} \] Мы рассматриваем $M_1\times_M M_2$ как топологическое пространство (с топологией, индуцированной из $M_1\times M_2$). Докажите, что естественное отображение $M_1\times_M M_2\arrow M$ -- это накрытие. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пространство $M_1\times_M M_2$ вместе с естественным отображением в $M$ называется {\bf произведением накрытий $M_1$, $M_2$}. Аналогичным образом определяется произведение любого конечного числа накрытий. \end{opredelenie} \begin{zamechanie} Если пользоваться аналогией между расширениями полей и накрытиями, несвязные объединения накрытий соответствуют прямой сумме полупростых артиновых колец, а произведения - тензорным произведениям. \end{zamechanie} \begin{zadacha} Пусть $M_1$, $M_2$, $M_3$ -- накрытия $M$. Докажите, что морфизмы из $M_3$ в $M_1\times M_2$ взаимно однозначно соответствуют парам морфизмов $\phi_1:\; M_3\arrow M_1$, $\phi_2:\; M_2\arrow M_1$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Рассмотрим $\R$ как накрытие $S^1$. Сколько связных компонент у $\R\times_{S^1}\R$? \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $M_1\stackrel\phi\arrow M_2$ -- морфизм между двумя накрытиями $М$. Определим {\bf график $\phi$} как подмножество в $M_1\times_M M_2$, состоящее из пар вида $(m, \phi(m))$ для всех $m\in M_1$. \end{opredelenie} \begin{zadacha}[!] Пусть $M_1\stackrel\phi\arrow M_2$ -- морфизм между двумя накрытиями $М$, а $\Gamma_\phi$ -- его график. Докажите, что $\Gamma_\phi$ открыто и замкнуто в $M_1\stackrel\phi\arrow M_2$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $[\tilde M:M]$ -- накрытие, причем $M$ и $\tilde M$ связны (такое накрытие называется {\bf связным}). Пусть $X\subset \tilde M\times_M\tilde M$ - связная компонента. Докажите, что $X$ тогда и только тогда является графиком автоморфизма $\nu:\; \tilde M \arrow \tilde M$, когда когда проекция на первую компоненту задает изоморфизм $X\cong \tilde M$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!]\label{_Mor_v_pro_Zadacha_} Пусть $[\tilde M:M]$ -- связное накрытие. Рассмотрим проекцию (по первому аргументу) $\tilde M\times_M\tilde M \arrow \tilde M$ как накрытие $\tilde M$. Постройте взаимно однозначное соответствие между $\Mor_{\tilde M}(\tilde M, \tilde M\times_M)$ и множеством автоморфизмов $\tilde M$ над $M$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей. \end{ukazanie} \begin{opredelenie} Пусть $[\tilde M:M]$ -- накрытие, причем $M$ и $\tilde M$ связны. Тогда $[\tilde M:M]$ называется {\bf накрытием Галуа}, если накрытие $\tilde M\times_M\tilde M \arrow \tilde M$ расщепляется. В такой ситуации группа автоморфизмов $\tilde M$ над $M$ называется {\bf группой Галуа накрытия $[\tilde M:M]$} (обозначается $\Gal([\tilde M:M])$). Иногда группа Галуа накрытия называется {\bf группой монодромии}, а по-английски -- {\bf deck transform group} (группа перелистывания колоды). \end{opredelenie} \begin{zadacha}[!] Пусть $M$ связно, а $[\tilde M:M]$ -- такое накрытие Галуа, что у каждой точки $M$ есть ровно $n$ прообразов (такое накрытие называется $n$-листным). Докажите, что у группы Галуа $[\tilde M:M]$ ровно $n$ элементов. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Докажите, что $[\tilde M\times_M\tilde M:\tilde M]$ тоже $n$-листное, и воспользуйтесь предыдущей задачей. \end{ukazanie} \begin{opredelenie} Пусть группа $G$ действует на множестве $S$. Действие называется {\bf свободным}, если для любых $g\in G$, $s\in S$, $s\neq gs$, если $g\neq 1$. Действие называется {\bf транзитивным}, если для любых двух $s_1$, $s_2\in S$, найдется $g\in G$ такой, что $g(s_1)=s_2$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $\tilde M \stackrel\pi\arrow M$ -- накрытие, а $G=\Aut_M(\tilde M)$ -- его группа автоморфизмов. Предположим, что $M$ связно. Докажите, что для любого $x\in M$ группа $G$ действует свободно на $\pi^{-1}(x)$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $\tilde M \stackrel\pi\arrow M$ -- накрытие Галуа, а $x\in M$ -- любая точка. Докажите, что $\Gal([\tilde M:M])$ действует на $\pi^{-1}(x)$ свободно и транзитивно. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Установите взаимно однозначное соответствие между $\pi^{-1}(X)$ и множеством связных компонент $\tilde M\times_M\tilde M$ и примените задачу \ref{_Mor_v_pro_Zadacha_}. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!]\label{_transi_na_sloe_Zadacha_} Пусть $\tilde M \stackrel\pi\arrow M$ -- накрытие, а $x\in M$ -- любая точка. Докажите, что $\Aut_M(\tilde M)$ тогда и только тогда транзитивно действует на $\pi^{-1}(X)$, когда $[\tilde M: M]$ -- накрытие Галуа. \end{zadacha} \begin{zadacha} Рассмотрим накрытие $\R^n \arrow \R^n/\Z^n \cong (S^1)^n$. Докажите, что это накрытие Галуа. \end{zadacha} \begin{zadacha} Зафиксируем $n\in \Z$ Рассмотрим $n$-листное накрытие $S^1 \arrow S^1$, $t \mapsto nt$. Докажите, что это накрытие Галуа. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $M$ -- топологическое пространство, а $G$ -- группа, действующая на $M$ непрерывными преобразованиями. Рассмотрим пространство $G$-орбит $M/G$. Напомним (см. листок Геометрия 10), что на $M/G$ следующим образом вводится топология: подмножество $M/G$ открыто тогда и только тогда, когда если его прообраз в $M$ открыт. Множество $M/G$ с этой топологией называется {\bf факторпространством} $M$ по действию $G$. \end{opredelenie} \begin{zadacha}[!] Пусть $[\tilde M:M]$ -- накрытие, а $G\subset \Aut_M(\tilde M)$ действует на $[\tilde M:M]$ автоморфизмами. Докажите, что это действие свободно, а факторпространство $\tilde M/G$ хаусдорфово и накрывает $M$. \end{zadacha} \begin{zamechanie} Фактор по $G$ играет в теории накрытий Галуа ту же роль, что $G$-инварианты в теории расширений Галуа. \end{zamechanie} \begin{zadacha}[!] Пусть $[\tilde M:M]$ -- накрытие, а $G$ -- его группа автоморфизмов. Докажите, что $\tilde M/G$ изоморфно $M$ тогда и только тогда, когда $[\tilde M:M]$ -- накрытие Галуа. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь задачей \ref{_transi_na_sloe_Zadacha_}. \end{ukazanie} \begin{zamechanie} Дальше следует несколько задач, доказательство которых (и даже формулировка) почти дословно повторяет доказательство аналогичных задач для расширений Галуа. \end{zamechanie} \begin{zadacha}\label{_kompo_rasshe_Zadacha_} Пусть $M_1\stackrel{\phi_1}\arrow M_2 \stackrel{\phi_2}\arrow M_3$ -- последовательность накрытий, причем $\phi_i$ сюрьективны, а их композиция расщепляется. Докажите, что $\phi_i$ расщепляются. \end{zadacha} В развитие аналогии с теорией Галуа, накрытия вида $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ будут в дальнейшем обозначаться $[\tilde M:M]$. \begin{zadacha}[!]\label{_M_1_times_promezhu_Zadacha_} Пусть $M_1\arrow M_2 \arrow M_3$ -- последовательность накрытий, причем все $M_i$ связны, а $[M_1:M_3]$ -- накрытие Галуа. Докажите, что $M_1 \times_{M_3} M_2$ расщепляется как расслоение над $M_1$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь задачей \ref{_kompo_rasshe_Zadacha_}, применив ее к последовательности \[ M_1\times_{M_3}M_1\arrow M_1\times_{M_3}M_2 \arrow M_1\times_{M_3}M_3. \] \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!] Пусть $M_1\arrow M_2 \arrow M_3$ -- последовательность накрытий, причем $[M_1:M_3]$ -- накрытие Галуа. Докажите, что $[M_1:M_2]$ -- накрытие Галуа. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь задачей \ref{_kompo_rasshe_Zadacha_}. \end{ukazanie} \begin{zadacha} Пусть $M_1\arrow M_2 \arrow M_3$ -- последовательность накрытий. Докажите, что \[ M_1\times_{M_3} M_1 \cong M_1\times_{M_2} (M_2\times_{M_3}M_2)\times_{M_2}M_1. \] \end{zadacha} \begin{zadacha} Выведите из этого следующее: если $M_1\arrow M_2 \arrow M_3$ -- последовательность накрытий, причем $[M_1:M_2]$ и $[M_2:M_3]$ -- накрытия Галуа, то $[M_1:M_3]$ -- тоже накрытие Галуа. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $[\tilde M:M]$ -- накрытие, $G$ -- его группа Галуа, а $G'\subset G$ -- ее подгруппа. Рассмотрим фактор $\tilde M/G'$. Докажите, что $[\tilde M: \tilde M/G']$ -- накрытие Галуа, с группой Галуа $G'$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $\tilde M \arrow M$ -- накрытие. {\bf Факторнакрытием} $[\tilde M:M]$ называется накрытие $\tilde M'\arrow M$, заданное вместе с последовательностью накрытий $\tilde M \arrow \tilde M' \arrow M$. \end{opredelenie} \begin{zadacha}[!] (основная теорема теории Галуа) Пусть $[\tilde M:M]$ -- накрытие Галуа с группой Галуа $G$. Рассмотрим соответствие, сопоставляющее подгруппе $G'\subset G$ факторнакрытие $[\tilde M/G':M]$. Докажите, что это соответствие устанавливает биекцию между множеством подгрупп и множеством классов изоморфизма факторнакрытий. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $M_1\arrow M_2 \arrow M_3$ -- последовательность накрытий, причем $[M_1:M_3]$ -- накрытие Галуа. Рассмотрим естественную проекцию \[ M_1 \times_{M_3} M_1 \stackrel\Psi\arrow M_2 \times_{M_3} M_2. \] Пусть $g\in \Gal([M_1:M_3])$, а $e_g\subset M_1 \times_{M_3} M_1$ -- связности $\{(m, g(m))\}$ в $M_1 \times_{M_3} M_1$. Докажите, что $g\in \Gal([M_1:M_2])\subset \Gal([M_1:M_3])$ тогда и только тогда, когда при проекции в $M_2 \times_{M_3} M_2$ компонента $e_g$ переходит в диагональную компоненту. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $M_1\arrow M_2 \arrow M_3$ -- последовательность накрытий Галуа. Докажите, что естественная проекция \[ M_1 \times_{M_3} M_1 \stackrel\Psi\arrow M_2 \times_{M_3} M_2. \] задает сюрьективный гомоморфизм $\Gal([M_1:M_3])\stackrel\psi\arrow \Gal([M_2:M_3])$. Докажите, что $\ker\psi=\Gal([M_1:M_2])$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь тем, что группа Галуа $\Gal([M_i:M_3])$ отождествляется с множеством связных компонент $M_i\times_{M_3}M_i$, и примените предыдущую здачу. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!] Пусть $\tilde M \arrow M$ -- накрытие Галуа, а $G' \arrow \tilde M/G'$ -- биективное соответствие между факторнакрытиями и подгруппами в группе Галуа, построенное выше. Докажите, что $G'$ является нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда $[\tilde M/G':M]$ -- накрытие Галуа. \end{zadacha} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subs{Накрытия линейно связных пространств} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{opredelenie} Пусть $M$ -- метрическое пространство. Напомним, что {\bf геодезической} в $M$ называется такой путь $[a,b] \stackrel\gamma\arrow M$, что $d(\gamma(x), \gamma(y))=|x-y|$. {\bf Длина} геодезической -- это расстояние между ее концами. Путь называется {\bf кусочно геодезическим}, если его можно разбить в объединение конечного числа геодезических сегментов. {\bf Длина} кусочно геодезического пути определяется как сумма длин составляющих этот путь геодезических отрезков. Мы обозначаем длину пути $\gamma$ через $|\gamma|$. \end{opredelenie} \begin{opredelenie} Пусть $\Gamma$ -- граф, а $M_\Gamma$ -- его топологическое пространство. Мы говорим, что $\Gamma$ {\bf связен}, если его топологическое пространство связно. \end{opredelenie} \begin{zadacha}[!] Докажите, что граф связен тогда и только тогда, когда любые две вершины соединяются конечной последовательностью ребер. Докажите, что связный граф линейно связен. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $\Gamma$ -- связный граф. По построению, на каждом ребре $r_\alpha\subset M_\gamma$ графа введены координаты, отождествляющие его с $[0,1]$. Пусть $\gamma$ -- кусочно линейный путь в $\Gamma_M$, то есть путь, составленный из конечного числа отрезков вида $[a_i,b_{i}]\stackrel{\phi_i}\arrow [\lambda_i, \mu_i]\subset r_\alpha$, где $\phi_i$ линейна. Определим $|\gamma|:= \sum|\lambda_i,\mu_i|$, как сумму длин всех отрезков, составляющих этот путь. Определим $d(x,y):= \inf |\gamma|$, где $\gamma$ пробегает все кусочно линейные пути, ведущие из $x$ в $y$. Докажите, что $d(x,y)$ задает метрику, и $M_\Gamma$ геодезически связен. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Эта метрика называется {\bf стандартной метрикой на топологическом пространстве графа}. \end{opredelenie} \begin{opredelenie} Геодезически связное многообразие $M$ называется {\bf звездчатым}, если любые две точки $M$ соединяются единственной геодезической. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Докажите, что любое выпуклое подмножество в $\R^n$ (со стандартной метрикой) звездчатое. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Найдите на $M=\R^2$ такую метрику, что $М$ геодезически связно, а из любой точки в любую идет бесконечно много геодезических. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $\Gamma$ -- дерево, то есть конечный связный граф, у которого $n$ вершин и $n-1$ ребро. Докажите, что $M_\Gamma$ со стандартной метрикой звездчатое. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $\Gamma$ -- такой конечный граф, что $\Gamma_M$ звездчатое. Докажите, что $\Gamma$ -- дерево. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $M$ -- геодезически связное многообразие, $\tilde M\stackrel\pi\arrow M$ -- связное накрытие, а $x$ и $y$ -- две точки в $\tilde M$. Рассмотрим множество $S_{x,y}$ всех путей на $\tilde M$, соединяющих $x$ и $y$, проекция которых в $M$ кусочно геодезична. Рассмотрим следующую функцию на $\tilde M \times \tilde M$ \[ \tilde d(x,y) = \inf_{\gamma\in S_{x,y}}|\pi(\gamma)|\] Докажите, что это метрика. Докажите, что $\tilde d(x,y)\geq d(\pi(x),\pi(y))$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] В условиях предыдущей задачи, докажите, что $\tilde M$ геодезически связно. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $M$ -- геодезически связное метрическое пространство, а $\tilde M\arrow M$ -- его накрытие. Докажите, что связная компонента прообраза геодезической -- геодезическая в $(\tilde M, \tilde d)$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Докажите, что прообраз геодезической является геодезической в окрестности каждой точки. Затем воспользуйтесь неравенством $\tilde d(x,y)\geq d(\pi(x),\pi(y))$. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!] Пусть $(M, d)$ -- звездчатое метрическое пространство, а $\tilde M \stackrel\pi \arrow M$ -- его связное накрытие. Пусть, кроме того, $x\in \tilde M$ -- любая точка, а $U_x$ -- множество точек $y\in M$, которые можно соединить с $x$ геодезической. Докажите, что $U_x$ открыто и замкнуто в $\tilde M$, и что $(U_x, \tilde d)$ звездчатое. Выведите из этого, что естественная проекция $\tilde M \stackrel\pi \arrow M$ -- изометрия и гомеоморфизм. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей. \end{ukazanie} \begin{zadacha} Пусть $M=[0,1]\times [0,1]$ -- квадрат, а $\tilde M \arrow M$ -- его связное накрытие. Докажите, что это гомеоморфизм. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $M$ -- линейно связное и односвязное пространство, а $\tilde M \stackrel\pi\arrow M$ -- связное накрытие. Докажите, что это гомеоморфизм. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Докажите, что $\tilde M$ линейно связно. Пусть $x, y\in \pi^{-1}(x_0)$ -- две точки, а $\tilde \gamma$ -- путь, который их соединяет. Тогда $\gamma:=\pi(\tilde\gamma)$ это петля. Поскольку $M$ односвязно, $\gamma$ продолжается до отображения из квадрата в $X\subset M$ (докажите это). Рассмотрим прообраз этого квадрата в $\tilde M$, и пусть $\tilde X$ компонента прообраза, которая содержит $\tilde\gamma$. Воспользовавшись предыдущей задачей, докажите, что $\tilde X\stackrel\pi\arrow X$ это гомеоморфизм, и выведите из этого, что $x=y$. \end{ukazanie} \begin{zadacha} В условиях предыдущей задачи, докажите, что любое накрытие $M$ расщепляется. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $M$ -- любое (не обязательно линейно связное) связное топологическое престранство. $M$ называется {\bf односвязным}, если любое накрытие $M$ расщепляется. \end{opredelenie} \begin{zamechanie} В силу предыдущей задачи, это определение согласовано с определением односвязности для линейно связных топологических пространств, данным в листке 10. \end{zamechanie} \begin{opredelenie} Пусть $M$ связно. Накрытие $\tilde M \arrow M$ называется {\bf универсальным}, если оно односвязно. \end{opredelenie} \begin{zadacha}[!] Докажите, что универсальное накрытие есть накрытие Галуа. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Докажите, что универсальное накрытие единственно с точностью до изоморфизма. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Пусть $\tilde M$, $\tilde M'$ -- два универсальных накрытия $M$. Поскольку $\tilde M\times_M\tilde M'$ является накрытием $\tilde M$, $\tilde M'$, оно расщепляется над $\tilde M$, $\tilde M'$. Это значит, что любая связная компонента $\tilde M\times_M\tilde M'$ изоморфно проектируется в $\tilde M$, $\tilde M'$. \end{ukazanie} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subs{Существование универсального накрытия} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{zadacha} Пусть $M$ линейно связно, $\tilde M \overset{\pi}{\arrow} M$ -- связное накрытие, а $x\in M$ -- любая точка. Докажите, что мощность множества $\pi^{-1}(x)$ не больше, чем мощность $\pi_1(M)$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Докажите, что мощность $\pi^{-1}(x)$ не больше, чем мощность множества $M^{[0,1]}$ отображений из $[0,1]$ в $M$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $\tilde M \overset{\pi}{\arrow} M$ -- связное накрытие связного $M$, а $x\in M$ любая точка. Докажите, что мощность $\pi^{-1}(x)$ не больше, чем $|2^{2S}|$, где $|2^{2S}|$ - мощность множества подмножеств $S\times S$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Выберем $x_1, x_2\in \pi^{-1}(x)$. Докажите, что найдется набор таких связных открытых множеств $\{\tilde U_\alpha\}\in \pi^{-1}(S)$, что $\tilde U_{\alpha_0}$ пересекается с объединением всех $\tilde U_\alpha$, не равных $U_{\alpha_0}$, причем \[ \{x_1 ,x_2\}= \pi^{-1}(x)\cap (\bigcup \tilde U_\alpha)\] Сужая базу $S$, если необходимо, можно предположить, что $\pi$ расщепляется над $\pi(U_\alpha)$ для всех $\alpha$. Докажите, что $x_2$ задается однозначно, если задано $x_1$, $\{\pi(U_\alpha)\}$, и отмечено, какие из $U_{\alpha}$ пересекаются. \end{ukazanie} \begin{zadacha} Пусть $M$ связное, а $V$ -- множество заданной ниже мощности. Обозначим через ${\cal R}$ множество всех топологий, заданных на каком-то подмножестве $X\subset M \times V$ таким образом, что естественная проекция $X\arrow M$ является накрытием. Докажите, что любое связное накрытие $M$ изоморфно какому-то элементу ${\cal R}$, если \begin{enumerate} \item $M$ линейно связно, а мощность $V$ равна $|M^{[0,1]}|$ \item\sttr{} Мощность $V$ равна $|2^{2S}|$, где $S$ - база топологии в $M$. \end{enumerate} \end{zadacha} \begin{zamechanie} Эта задача позволяет говорить о ``множестве классов изоморфизма накрытий''. Напомним, что не все математические объекты являются множествами; так, множеством не является класс всех множеств. Чтобы доказать, что какой-то класс является множеством, надо ограничить его мощность. \end{zamechanie} \begin{opredelenie} Пусть $\{M_\alpha\stackrel{\pi_\alpha}\arrow M\}$ -- набор отображений на $M$, проиндексированный набором индексов $I$ (возможно, бесконечным, или даже несчетным). Рассмотрим множество всех таких $(m_{\alpha_1}, m_{\alpha_1},\dots)\in \prod M_{\alpha}$, что $\pi_{\alpha}(m_\alpha)=m$ для какого-то $m\in M$. Это множество называется {\bf расслоенным произведением $\{M_{\alpha}\}$} и обозначается $\prod_M M_{\alpha}$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $M$ -- топологическое пространство, а $\{M_\alpha\stackrel{\pi_\alpha}\arrow M\}$ -- набор его накрытий. Введем на $\prod_M M_{\alpha}$ топологию следующим образом. Пусть $U\subset M$ открыто, а $\{U_\alpha\subset M_{\alpha}\}$ -- набор открытых множеств, накрывающих $U$. Докажите, что множества вида $\prod_U U_\alpha\subset \prod_M M_{\alpha}$ задают базу топологии на $\prod_M M_{\alpha}$. Докажите, что $\prod_M M_{\alpha}$ хаусдорфово \item[*] Верно ли, что естественная проекция $\prod_M M_{\alpha}\arrow M$ -- накрытие? \item[!] Предположим, что у каждой точки $М$ найдется односвязная окрестность. Докажите, что естественная проекция $\prod_M M_{\alpha}\arrow M$ -- накрытие. \end{zadacha} \begin{opredelenie} В такой ситуации $\prod_M M_{\alpha}$ называется {\bf расслоенным произведением $M_{\alpha}$ над $M$}, либо просто произведением накрытий $M_\alpha\stackrel{\pi_\alpha}\arrow M$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} \label{_rascheplya_product_Zadacha_} Пусть все накрытия $\{M_\alpha\stackrel{\pi_\alpha}\arrow M\}$ расщепляются. Докажите, что $\prod_M M_{\alpha}$ тоже расщепляется. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $\{M_\alpha\stackrel{\pi_\alpha}\arrow M\}$ -- накрытия Галуа. Докажите, что любая компонента связности их произведения над $M$ -- тоже накрытие Галуа. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь задачей \ref{_rascheplya_product_Zadacha_}. \end{ukazanie} \begin{zadacha} Пусть $\tilde M$ -- накрытие $M$. Постройте естественную биекцию между множествами $\Mor(\prod_M M_{\alpha}, \tilde M)$ и $\prod \Mor(M_{\alpha}, \tilde M)$ \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $\{M_\alpha\stackrel{\pi_\alpha}\arrow M\}$ -- множество всех накрытий $S^1 \arrow S^1$, $t\arrow nt$, проиндексированных $n\in \Z$. Докажите, что любая связная компонента $\prod_M M_{\alpha}$ изоморфна $\R\arrow \R/\Z = S^1$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $\tilde M\stackrel\pi\arrow M$ -- накрытие, причем $\tilde M$ и $M$ связные, $x\in M$, $x_1, x_2 \in \pi^{-1}(x)$, $W$ -- компонента связности $\tilde M\times_M\tilde M$, содержащая $x_1\times x_2$, а $W_1$ -- компонента связности $\tilde M\times_M\tilde M\times_M\tilde M$, содержащая $x_1\times x_2\times x_2$. Докажите, что естественная проекция $W_1 \arrow W$ (забывание третьего аргумента) это изоморфизм. \end{zadacha} \begin{zadacha} В такой же ситуации, пусть $\{x_\alpha\}$ -- набор точек в $\pi^{-1}(x)$, проиндексированных $\alpha\in I$, $W$ -- соответствующая компонента в расслоенном произведении $\prod_{M,I}\tilde M$ $I$ копий $\tilde M$, а $W_1$ - компонента в $\left(\prod_{M,I}\tilde M\right)\times_M\tilde M$, содержащая $\{x_\alpha\}$ и $x_0$, причем $x_0\in \{x_\alpha\}$. Докажите, что естественная проекция $W_1 \arrow W$ это изоморфизм. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ -- связное накрытие, а $x\in M$. Рассмотрим произведение $\prod_{M,\{\pi^{-1}(x)\}}\tilde M$ $\tilde M$ с собой, проиндексированное множеством $\pi^{-1}(x)$, и пусть $\tilde M_G$ -- связная компонента в $\prod_{M,\{\pi^{-1}(x)\}}\tilde M$, содержащая произведение всех $x_\alpha \in \{\pi^{-1}(x)\}$. Докажите, что $\tilde M_G\times_M \tilde M$ расщепляется над $\tilde M_G$. Докажите, что $\tilde M_G \arrow M$ -- накрытие Галуа. \end{zadacha} \begin{zamechanie} Мы доказали, что любое накрытие является фактор-накрытием накрытия Галуа. \end{zamechanie} \begin{zadacha} Пусть $M$ -- связное топологическое пространство, ${\cal R}$ -- множество всех классов изоморфизма связных накрытий $M$, $\{M_\alpha\stackrel{\pi_\alpha}\arrow M\}$ -- соответствующий набор накрытий, а $\tilde M\subset \prod_M M_{\alpha}$ -- компонента связности их произведения. Докажите, что для каждого связного накрытия $\tilde M' \arrow \tilde M$ найдется сюрьективный морфизм накрытий $\tilde M \arrow \tilde M'$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей. \end{ukazanie} \begin{zadacha} В условиях предыдущей задачи, докажите, что $\tilde M$ -- накрытие Галуа. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Выведите из этого, что для любого $\tilde M \arrow M$, накрытие $\tilde M \times_M \tilde M'\arrow \tilde M$ расщепляется. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь \ref{_M_1_times_promezhu_Zadacha_}. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!] Пусть $M$ -- любое связное топологическое пространство, а $\tilde M \arrow M$ -- накрытие Галуа, построенное выше. Докажите, что $\tilde M$ односвязно. \end{zadacha} \begin{zamechanie} Мы получили, что у любого связного топологического пространства найдется универсальное накрытие. Как было выше доказано, универсальное накрытие единственно. \end{zamechanie} \begin{zadacha}[!] Пусть $M$ линейно связно, $\tilde M$ -- его универсальное накрытие, а $\Gal([\tilde M:M])$ -- соответствующая группа Галуа. Докажите, что $\Gal([\tilde M:M])$ изоморфно фундаментальной группе $M$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} {\bf Фундаментальной группой} топологического пространства $М$ называется группа $\pi_1(M):=\Gal([\tilde M:M])$, где $\tilde M$ - универсальное накрытие. \end{opredelenie} \begin{opredelenie} Подгруппы $G_1, G_2\subset G$ называются {\bf сопряженными}, если найдется такой $g\in G$, что $G_1$ переводится в $G_2$ автоморфизмом $x\arrow x^g$. \end{opredelenie} \begin{zadacha}[*] Пусть $M_1\arrow M$ -- некоторое накрытие, а $\tilde M \arrow M_1\arrow M$ -- универсальное накрытие. Рассмотрим подгруппу $G_1\subset \Gal([\tilde M:M])=\pi_1(M)$, полученную в результате применения основной теоремы теории Галуа. Докажите, что это соответствие задает биекцию между классами изоморфизма накрытий $M$ и классами сопряженности подгрупп в $\pi_1(M)$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Найдите все накрытия окружности, с точностью до изоморфизма. Постройте их явно. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $M$ -- связное топологическое пространство, все компоненты линейной связности которого односвязны. Может ли оно иметь нетривиальную фундаментальную группу? \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $B$ -- множество полиномов $P(t)= t^n+ a_{n-1}t^{n-1}+ a_{n-2}t^{n-2}+ \dots + a_0$ над $\C$, у которых все корни разные, а $B_1$ -- множество всех наборов $(x_1,\dots, x_n)\in \C^n$ попарно различных чисел $x_i \in \C$. Введем на $B$ и $B_1$ естественную топологию подмножества в $\C^n$. Рассмотрим отображение $B_1\stackrel\pi\arrow B$, $(x_1,\dots, x_n)\arrow \prod(t-x_i)$. Докажите, что $\pi$ -- накрытие Галуа. Найдите его группу Галуа. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Постройте связное накрытие, которое не будет накрытием Галуа. \end{zadacha} \end{document}