\documentclass[12pt]{article} \usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr} \input{listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{12}{Геометрия 12: фундаментальная группа и гомотопии} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subs{Гомотопии} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Все топологические пространства в этом листочке предполагаются локально линейно связными и хаусдорфовыми, если не оговорено противного. \begin{opredelenie} Пусть $f_1, f_2:\; X \arrow Y$ -- непрерывные отображения топологических пространств. Напомним, что {\bf гомотопией} между $f_1$ и $f_2$ называется такое непрерывное отображение $F:\; [0,1]\times X \arrow Y$, что $F\restrict{\{0\}\times X}$ равно $f_1$, а $F\restrict{\{1\}\times X}$ равно $f_2$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Докажите, что гомотопные отображения индуцируют один и тот же гомоморфизм $\pi_1(X)\arrow \pi_1(Y)$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $f:\; X \arrow Y$, $g:\; Y \arrow X$ -- непрерывные отображения топологических пространств, причем $f\circ g$ и $g\circ f$ гомотопны тождественным отображениям из $X$ в $X$ и из $Y$ в $Y$. Такие отображения называются {\bf гомотопическими эквивалентностями}, а $X$ и $Y$ -- {\bf гомотопически эквивалентными}. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Докажите, что композиция гомотопических эквивалентностей отображений есть гомотопическая эквивалентность. Докажите, что гомотопическая эквивалентность пространств есть отношение эквивалентности. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- гомотопическая эквивалентность. Докажите, что $f$ индуцирует изоморфизм фундаментальных групп. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $X\subset Y$ -- ретракт. Докажите, что $X$ и $Y$ гомотопически эквивалентны. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $X$ -- топологическое пространство. Докажите, что $X$ стягиваемо тогда и только тогда, когда оно гомотопически эквивалентно точке. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Дан связный граф $\Gamma$, у которого $n$ ребер и $n$ вершин. Докажите, что его топологическое пространство гомотопически эквивалентно окружности. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $M$ -- связное топологическое пространство, $x,x', y, y'\in M$ -- любые точки. Докажите, что пространства путей $\Omega(M,x,x')$ и $\Omega(M,y,y')$ гомотопически эквивалентны. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Выберите путь $\gamma_{xy}$, соединяющий $x$ и $y$ и путь $\gamma_{x'y'}$, соединяющий $x'$ и $y'$. Пусть $\gamma^{-1}_{xy}(t)=\gamma_{xy}(1-t)$ и $\gamma^{-1}_{x'y'}(t)=\gamma_{x'y'}(1-t)$. Рассмотрим отображение $f:\Omega(M,x,x')\arrow\Omega(M,y,y')$ переводящее любой путь $\gamma\in \Omega(M,x,x')$ в композицию $\gamma^{-1}_{xy}\gamma\gamma_{x'y'}$, и аналогичное отображение $g:\Omega(M,y,y')\arrow\Omega(M,x,x')$, переводящее $\gamma\in \Omega(M,y,y')$ в $\gamma_{xy}\gamma\gamma^{-1}_{x'y'}$. Докажите, что $fg$ гомотопно тождественному и $gf$ гомотопно тождественному. \end{ukazanie} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subs{Пространство путей на локально стягиваемых пространствах} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{opredelenie} Пусть $M$ -- топологическое пространство. $M$ называется {\bf локально стягиваемым}, если у каждой точки есть стягиваемая окрестность. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $M$ -- локально стягиваемое топологическое пространство. Докажите, что $M$ локально линейно связно. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $M$ -- такое геодезически связное метрическое пространство, что для какого-то $\delta>0$ любые две точки, отстоящие на расстояние $<\delta$, соединяются единственной геодезической. Докажите, что $M$ локально стягиваемо. \end{zadacha} \begin{zadacha} Докажите, что любой граф локально стягиваем. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Топологическое пространство $M$ называется {\bf многообразием размерности $n$}, если у любой точки найдется окрестность, гомеоморфная открытому шару в $\R^n$. \end{opredelenie} \begin{zamechanie} Многообразия, очевидно, локально стягиваемы. \end{zamechanie} \begin{zadacha}[!] Докажите, что сфера $S^n$ -- это многообразие. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь стереографической проекцией. \end{ukazanie} \begin{zadacha} Пусть $M$ стягиваемое, $x,y\in M$. Докажите, что все пути $\gamma\in \Omega(M, x,y)$ гомотопны. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $\gamma\in \Omega(M, x,y)$ -- путь в локально стягиваемом пространстве $M$, а $\{U_\alpha\}$ -- множество стягиваемых открытых множеств на $M$. Выберем в $\{U_\alpha\}$ конечное подмножество, покрывающее $\gamma$ (это можно сделать, потому что $\gamma$ компактен). Пусть $V_1,\dots,V_n$ -- соответствующее покрытие $[0,1]$ связными интервалами, где каждый $V_i$ является связной компонентой $\gamma^{-1}(U_i)$, а все $U_i$ стягиваемы. Упорядочим $V_i$ таким образом, что $V_i$ и $V_{i+1}$ пересекаются в точке $t_i$, и пусть $a_i := \gamma(t_i)$. Докажите, что любой путь $\gamma'\in \Omega(M, x,y)$, такой, что $\gamma'(t_i)=a_i$, и $\gamma'([t_i, t_{i+1}])\subset U_i$, гомотопен $\gamma$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!] \label{_gomoto_bli_petli_Zadacha_} Пусть $M$ -- локально стягиваемое топологическое пространство, а $\gamma\in \Omega(M, x,y)$ -- некоторый путь. Докажите, что у $\gamma$ найдется такая окрестность ${\mathcal U}\subset \Omega(M, x,y)$, что все $\gamma'\in {\mathcal U}$ гомотопны. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей. \end{ukazanie} \begin{zamechanie} Заметим, что на компактных многообразиях размерности $>1$ существует петли, задаваемые сюрьективным отображением; пример такой петли легко построить тем же методом, что кривую Пеано. \end{zamechanie} \begin{zadacha}[!] Пусть $M$ это многообразие (например, сфера) размерности больше $1$, а $\gamma\in \Omega(M, x)$ -- петля. Докажите, что $\gamma$ гомотопна петле, которая не сюрьективна. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!] Пусть $n>1$. Докажите, что $n$-мерная сфера односвязна. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Пусть $\gamma$ -- петля на сфере. Воспользовавшись предыдущей задачей, прогомотопируйте $\gamma$ в петлю, которая отображает $[0,1]$ в $S^n\backslash \{x\}$, где $x$ некоторая точка. Докажите, что сфера без точки гомеоморфна $\R^n$, в частности стягиваема. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[*] \label{_puti_iz_styagi_Zadacha_} Пусть $M$ стягиваемо, а $F:\; M\times [0,1]\arrow M$ -- гомотопия тождественного отображения в постоянное отображение $M \to y \in M$. Рассмотрим следующее отображение $M\arrow \Omega(M, y, *)$, $t, m \arrow F(m, t)$ ($t\in[0,1]$, $m\in M$). Докажите, что оно непрерывно. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $M$ локально стягиваемо, $x, y\in M$ -- две точки, $\gamma\in \Omega(M, x, y)$ -- некоторый путь. Докажите, что у $\gamma$ есть такая окрестность ${\mathcal U}\in \Omega(M, x, *)$, что все пути $\gamma'\in {\mathcal U}$, соединяющие $x$ и $a$, гомотопны в $\Omega(M, x, a)$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $M$ -- локально стягиваемое топологическое пространство, $x \in M$ -- точка, а $\Omega(M, x, *)$ -- множество всех путей, начинающихся в точке $x$, снабженное открытокомпактной топологией. Рассмотрим такое отношение эквивалентности на $\Omega(M,x, *)$: $\gamma\sim\gamma'$, если $\gamma$ и $\gamma'$ соединяют $x$ и $y$, и гомотопны в $\Omega(M, x, y)$. Рассмотрим $\Omega(M, x, *)/\sim$, с топологией фактора. Выберем стягиваемую окрестность $U_y\ni y$, и пусть $U_y\stackrel F \arrow \Omega(U_y, y, *)$ -- отображение, построенное в задаче \ref{_puti_iz_styagi_Zadacha_}. Пусть $\gamma\in \Omega(M, x, y)$ -- некоторый путь, а $U_y \stackrel\Psi\arrow \Omega(M, x, *)$ -- отображение, ставящее $a\in U_y$ путь $\gamma F(a)$ (то есть путь, заданный на $[0, 1/2]$ как $t \arrow \gamma(2t)$, и на $[1/2,1]$ как $F(a, 2t-1)$. Докажите, что (для достаточно маленького $U_y$) $\Psi$ в композиции с $\Omega(M, x, *)\stackrel\pi\arrow\Omega(M, x, *)/\sim$ -- это гомеоморфизм $U_y$ на некоторое открытое подмножество в $\Omega(M, x, *)/\sim$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Непрерывность $\Psi\circ\pi$ очевидна по конструкции, а инъективность следует из предыдущей задачи. Чтобы убедиться, что $\Psi\circ\pi$ задает гомеоморфизм $U_y$ на $\Psi\circ\pi(U_y)$, нам нужно доказать, что $\Psi\circ\pi$ переводит открытые множества в открытые. Это ясно из того, что естественное отображение $\Omega(M, x, *)/\sim\arrow M$, $\gamma'\arrow \gamma'(1)$, непрерывно, и индуцирует гомеоморфизм $U_y$ на образ. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[*] Рассмотрим отображение $\Omega(M, x, *)/\sim\arrow M$, ставящее в соответствие пути $\gamma\in \Omega(M, x, y)$ точку $y=\gamma(1)$. Докажите, что это накрытие. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!] Докажите, что $\Omega(M, x, *)$ стягиваемо. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $\gamma$ -- путь в $\Omega(M, x, *)/\sim$. Докажите, что $\gamma$ гомотопен образу некоторого пути из $\Omega(M, x, *)$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Докажите, что $\gamma$ можно поднять до пути в $\Omega(M, x, *)$ локально, и воспользуйтесь тем, что для каждой точки в $\Omega(M, x, *)/\sim$ ее прообраз в $\Omega(M, x, *)$ связен. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[*] Выведите из этого, что $\Omega(M, x, *)/\sim$ односвязно. \end{zadacha} \begin{zamechanie} Пусть $(M, x)$ -- локально стягиваемое топологическое пространство с отмеченной точкой. Универсальное накрытие $M$ можно таким образом отождествить с множеством пар ($y\in M$, класс гомотопии путей $\gamma\in \Omega(M,x,y)$). \end{zamechanie} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subs{Свободная группа и букет} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{opredelenie} Пусть $(M_1, x_1)$, $(M_2, x_2)$, $(M_3, x_3)$, $\ldots$ -- набор (возможно, бесконечный) связных топологических пространств с отмеченной точкой. Рассмотрим факторпространство несвязного объединения всех $(M_\alpha, x_\alpha)$ по соотношению эквивалентности $\{x_1\}\sim \{x_2\}\sim \{x_3\}\sim \dots$ Это факторпространство называется {\bf букетом}, обозначается $\bigvee_\alpha (M_\alpha,x_\alpha)$. Также букет обозначается $(M_1, x_1)\vee(M_2, x_2)\vee(M_3, x_3)\vee \dots$ \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть все $M_\alpha$ связные (линейно связные, хаусдофовы). Докажите, что их букет связен (линейно связен, хаусдорфов). \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть все $M_\alpha$ связные и односвязные. Докажите, что их букет односвязен. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $\Gamma$ -- связный граф, у которого $n$ вершин и $n+k-1$ ребер. Докажите, что его топологическое пространство $M_\Gamma$ гомотопически эквивалентно букету $k$ окружностей. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Пусть у $\Gamma$ есть ребро $r$, соединяющее две разные вершины $v_1, v_2$, Рассмотрим граф $\Gamma'$, у которого $n-1$ вершин и $n+k-2$ ребер, полученный из $\Gamma$ следующим образом. Из $\Gamma$ выкидывается ребро $r$, а вершины $v_1$ и $v_2$ склеиваются в одну. Докажите, что $M_\Gamma$ и $M_{\Gamma'}$ гомотопически эквивалентны. \end{ukazanie} \begin{opredelenie} Зададим множество $\{a_1, a_2, \dots\}$ мощности $N$ ($N$ может быть как конечным кардиналом, так и бесконечным). {\bf $N$-арное дерево} $D_N$ -- это бесконечный граф, который определяется следующим образом. Вершины $D_N$ -- конечные последовательности из символов $a_i$. Ребрами соединяются вершины, соответствующие $A_1A_2 \dots A_k$ и $A_1A_2 \dots A_kA_{k+1}$ (все $A_i$ принадлежат $\{a_1, a_2, \dots\}$). \end{opredelenie} \begin{zadacha} Докажите, что в каждую вершину $D_N$ входят $N+1$ ребер. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $M_N$ -- топологическое пространство $N$-арного дерева, с естественной метрикой, построенной в начале этого листка. Докажите, что $M_N$ является звездчатым (любые две точки соединяются единственной геодезической). Докажите, что оно стягиваемо. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Рассмотрим $2N-1$-арное дерево. Раскрасим его ребра в $N$ цветов, таким образом, что к каждой вершине сходится по 2 ребра каждого цвета. Рассмотрим букет из $N$ окружностей, и раскрасим каждую из окружностей в свой цвет. Рассмотрим отображение из $M_{2N-1}$ в букет из $N$ окружностей, переводящий вершины графа в вершины букета, а ребро цвета $a_i$ в окружность такого же света. Докажите, что это универсальное накрытие. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $\{a_1, a_2, \dots\}$ -- множество мощности $N$, а ${\mathcal W}$ -- множество конечных последовательностей (``слов'') из символов $a_i$, $a_j^{-1}$, в которых нигде не встречаются подряд $a_ia_i^{-1}$, а также $a_i^{-1}a_i$. Последовательность длины 0 обозначается $e$. Мы умножаем слова, записывая одно за другим и зачеркивая последовательно все $a_ia_i^{-1}$, $a_i^{-1}a_i$, которые встречаются подряд. Докажите, что ${\mathcal W}$ образует группу. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Эта группа называется {\bf свободной группой, порожденной образующими $\{a_1, a_2, \dots\}$}, обозначается $F_N$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Докажите, что $F_1$ изоморфно $\Z$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $G$ -- любая группа, а $\{g_1, g_2, \dots \}$ -- набор элементов из $G$, пронумерованный $\{a_1, a_2, \dots\}$. Докажите, что существует единственный гомоморфизм $F_N\arrow G$, переводящий $a_i$ в $g_i$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Постройте свободное действие $F_N$ на топологическом пространстве $M_{2N-1}$ $2N-1$-арного дерева, транзитивное на вершинах. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Докажите, что $M_{2N-1}/F_N$ -- букет $N$ окружностей, а фундаментальная группа букета свободна. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Докажите, что любой (возможно, бесконечный) граф гомотопически эквивалентен букету окружностей. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Выведите из этого, что любая подгруппа свободной группы свободна. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь теорией Галуа для накрытий. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[*] Пусть $G_1,G_2,\dots$ -- какой-то набор групп. Рассмотрим множество ${\mathcal W}$ конечных последовательностей неединичных элементов из разных $G_i$, таких, что элементы одной и той же группы нигде не идут подряд. Если дана любая последовательность $A$ элементов из $G_i$, из нее можно получить элемент ${\mathcal W}$ следующим способом. Если в $A$ идут подряд два элемента из $G_i$, мы их перемножаем и заменяем эти два элемента на произведение. Если в $A$ встречается единица одний из групп, мы ее вычеркиваем. Повторим эту процедуру столько раз, сколько нужно, чтобы получить элемент из ${\mathcal W}$. Элементы ${\mathcal W}$ можно перемножать, записав одно слово после другого и применив вышеописанную процедуру. Докажите, что получится группа. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Эта группа называется {\bf свободным произведением групп $G_1$, $G_2$, $\dots$}. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Докажите, что свободная группа от $N$ образующих -- это свободное произведение $N$ копий $\Z$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Докажите, что свободное произведение свободных групп свободно. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $(M_1, x_1), (M_2, x_2), (M_3, x_3), \dots$ -- набор связных топологических пространств с отмеченной точкой. Докажите, что $\pi_1(\bigvee_\alpha(M_\alpha,x_\alpha))$ изоморфна свободному произведению групп $\pi_1(M_1, x_1), \pi_1(M_2, x_2), \pi_1(M_3, x_3), \dots$. \end{zadacha} \end{document}